Seja A uma matriz simétrica, positiva definida, isto é, A^T=A e x^T A x>0, para qualquer x não nulo. Por notação, x é o vetor coluna e x^T seu transposto. Os métodos numéricos do tipo gradiente para resolver sistemas lineares A x=b têm como ideia básica minimizar a função de x=(x1, x2, ldots, xn), dada por:
F(x) & =12 x^T A x-b^T x F(x1, x2, ldots, xn) & =12(lll x1 & cdots & xn )(ccc a11 & cdots & a1 n vdots & ddots & vdots a1 n & cdots & an n )(c x1 vdots xn )-(lll b1 & cdots & bn )(c x1 vdots xn )
Para simplificar, quando abrirmos as equações matriciais, o faremos supondo n=2, embora o desenvolvimento seja o mesmo para um número arbitrário de componentes. Por exemplo, para verificar que F(x) é uma função quadrática nas componentes do vetor x, tomamos n=2 na equação (1):
F(x1, x2)=12(a11 x1^2+2 a12 x1 x2+a22 x2^2)-b1 x1-b2 x2,
onde foi usada a simetria da matriz A. As curvas de nível da função F(x1, x2) são elipses. Assim, o gráfico de F é um parabolóide eliptíco e esta função tem um único mínimo. O mínimo da função é atingido no ponto que anula o gradiente da função, portanto
nabla F(x1, x2)=binompartial Fpartial x1partial Fpartial x2=binoma11 x1+a12 x2-b1a21 x1+a22 x2-b2=A x-b
Sendo assim, nabla F=(0,0) significa A x=b, isto é, a solução do sistema de equações lineares minimiza a função quadrática e vice-versa. Como sabemos, o vetor gradiente aponta a direção de crescimento máximo da função. Portanto, é natural que, nos passos de busca do mínimo, caminhemos na direção contrária ao gradiente, isto é:
x^(k+1)=x^(k)-sk nabla F(x^(k))
Assim, a aproximação num passo k+1 é calculada a partir da aproximação no passo anterior, caminhando na direção contrária ao gradiente. O parâmetro real sk regula o tamanho do passo na k-ésima iteração. Considerando A=(ll4 & 2 2 & 5) e b=binom-61, faça o que se pede:
b) Determine a lei de formação da função F, como na expressão (3).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos uma matriz simétrica e positiva definida A e um vetor b. A função F(x) que vamos trabalhar é uma função quadrática que depende das componentes do vetor x = (x1, x2). O objetivo da parte b) é encontrar a expressão dessa função F usando os valores específicos de A e b que foram dados:
A = 4 & 2 2 & 5 , b = -6 1
Para isso, vamos usar a fórmula geral da função F e substituir os valores de A e b.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral da função F(x):
F(x) = 12 x^T A x - b^T x
Aqui, x^T é o vetor transposto de x, ou seja, x^T = x1 & x2 .

Passo 3

Vamos calcular cada parte da expressão separadamente. Primeiro, vamos calcular x^T A x.
Multiplicando A por x:
A x = 4 & 2 2 & 5 x1 x2 = 4x1 + 2x2 2x1 + 5x2
Agora, multiplicamos x^T pelo resultado:
x^T A x = x1 & x2 4x1 + 2x2 2x1 + 5x2 = x1(4x1 + 2x2) + x2(2x1 + 5x2)
Simplificando:
x^T A x = 4x1^2 + 2x1x2 + 2x1x2 + 5x2^2 = 4x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2

Passo 4

Agora, vamos calcular b^T x:
b^T x = -6 & 1 x1 x2 = -6x1 + 1x2 = -6x1 + x2

Passo 5

Substituindo as partes que calculamos na fórmula de F(x):
F(x) = 12 (4x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2) - (-6x1 + x2)
Vamos distribuir a 12:
F(x) = 2x1^2 + 2x1x2 + 52x2^2 + 6x1 - x2

Passo 6

Finalmente, organizando os termos:
F(x1, x2) = 2x1^2 + 2x1x2 + 52x2^2 + 6x1 - x2

Resposta

A lei de formação da função F é:
F(x1, x2) = 2x1^2 + 2x1 x2 + 52x2^2 + 6x1 - x2

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