Seja uma matriz simétrica, positiva definida, isto é, e , para qualquer não nulo. Por notação, é o vetor coluna e seu transposto. Os métodos numéricos do tipo gradiente para resolver sistemas lineares têm como ideia básica minimizar a função de , dada por:
Para simplificar, quando abrirmos as equações matriciais, o faremos supondo n=2, embora o desenvolvimento seja o mesmo para um número arbitrário de componentes. Por exemplo, para verificar que F(x) é uma função quadrática nas componentes do vetor x, tomamos n=2 na equação (1):
onde foi usada a simetria da matriz A. As curvas de nível da função F(x1, x2) são elipses. Assim, o gráfico de F é um parabolóide eliptíco e esta função tem um único mínimo. O mínimo da função é atingido no ponto que anula o gradiente da função, portanto
Sendo assim, nabla F=(0,0) significa A x=b, isto é, a solução do sistema de equações lineares minimiza a função quadrática e vice-versa. Como sabemos, o vetor gradiente aponta a direção de crescimento máximo da função. Portanto, é natural que, nos passos de busca do mínimo, caminhemos na direção contrária ao gradiente, isto é:
x^(k+1)=x^(k)-sk nabla F(x^(k))
Assim, a aproximação num passo k+1 é calculada a partir da aproximação no passo anterior, caminhando na direção contrária ao gradiente. O parâmetro real sk regula o tamanho do passo na k-ésima iteração. Considerando A=(ll4 & 2 2 & 5) e b=binom-61, faça o que se pede:
b) Determine a lei de formação da função F, como na expressão (3).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos uma matriz simétrica e positiva definida A e um vetor b. A função F(x) que vamos trabalhar é uma função quadrática que depende das componentes do vetor x = (x1, x2). O objetivo da parte b) é encontrar a expressão dessa função F usando os valores específicos de A e b que foram dados:
A = 4 & 2 2 & 5 , b = -6 1
Para isso, vamos usar a fórmula geral da função F e substituir os valores de A e b.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral da função F(x):
F(x) = 12 x^T A x - b^T x
Aqui, x^T é o vetor transposto de x, ou seja, x^T = x1 & x2 .
Passo 3
Vamos calcular cada parte da expressão separadamente. Primeiro, vamos calcular x^T A x.