Use o teste da comparação no limite para determinar se a série converge.
sumk=1^infty 53^k+1

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty53^k+1. O conteúdo é teste da comparação no limite para séries numéricas, e vamos precisar lembrar que uma série geométrica sum 5/3^k converge se a razão 1/3 satisfaz |1/3|<1.

Passo 2

Definimos os termos das duas séries: ak=53^k+1 e bk=53^k. Vamos calcular o limite L=limktoinftyakbk.

Passo 3

Calculamos o quociente: em bloco
L=limktoinfty53^k+153^k=limktoinfty53^k+1cdot3^k5=limktoinfty3^k3^k+1
Como limktoinfty3^k3^k+1=1, temos 0. Pelo teste da comparação no limite, as séries sum ak e sum bk têm o mesmo comportamento.

Passo 4

Sabemos que sumk=1^inftybk=sumk=1^infty53^k=5sumk=1^inftyl(13r)^k é uma série geométrica com razão 1/3, que converge. Portanto, a série original sumk=1^infty53^k+1 também converge.

Resposta

A série converge.

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