Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=0^infty (k!)^2(2 k)!

Passo 1

Temos a série sumk=0^infty (k!)^2(2k)!. O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da razão, que compara o termo ak com o próximo ak+1.

Passo 2

Definimos ak = (k!)^2(2k)!. Pelo teste da razão, precisamos calcular o limite
limktoinfty|ak+1ak|
e verificar se é menor que 1.

Passo 3

Calculando a razão:
ak+1ak = ((k+1)!)^2(2k+2)!(k!)^2(2k)! = (k+1)^2,(k!)^2(2k+2)(2k+1)(2k)!cdot(2k)!(k!)^2 = (k+1)^2(2k+2)(2k+1) = k+12(2k+1)

Passo 4

Agora avaliamos o limite:
L = limktoinftyk+12(2k+1) = 14 < 1
Como L<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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