1. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
    (a) t d t+y e^-t d y=0, y(0)=1
    (b) y^prime=2 ty+t^2 y, y(0)=-2
    © y^prime=t y^3(1+t^2)^-1 / 2, y(0)=1
    (d) y^prime=2 t1+2 y, y(2)=0
    (e) y^prime=t(t^2+1)4 y^3, y(0)=-1raiz2
    (f) y^prime=e^-x-e^x3+4 y, y(0)=1
    (g) sen 2 x d x+cos 3 y d y=0, y(pi / 2)=pi / 3
    (h) (x y^2+x) d x+(x^2 y-y) d y=0, y(0)=1
    (i) d rd theta=r^2theta, r(1)=2
  2. Calcule a solução geral das seguintes equações:
    (a) 2 t d yd t+2 y=t y^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver vários problemas de valor inicial de EDOs (itens 17a–17i) e, em seguida, achar a solução geral de uma equação no item 18a. O conteúdo principal é o de EDOs de variáveis separáveis ou exatas, e também uma Bernoulli no 18a.

Passo 2

O método geral é: 1) verificar se a EDO é separável (ou exata), 2) separar as variáveis (ou tornar exata), 3) integrar ambos os lados, 4) aplicar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 3

Para 17a) temos a forma diferencial
t,dt+y e^-t,dy=0
Reescrevendo como EDO: dy/dt=-t e^t/y, que é separável:
y,dy=-t e^t,dt
Integramos:
tfracy^22= -t e^t+ e^t+C
Logo
y^2=2e^t(1-t)+C'
Com y(0)=1 obtém-se C'=-1, então

Passo 4

Para 17b) dy/dt=2t/[y(1+t^2)] é separável:
y,dy=2t1+t^2,dt
Integramos:
tfracy^22=ln(1+t^2)+C
Logo
y^2=2ln(1+t^2)+C'
Com y(0)=-2 vem C'=4 e escolhemos o ramo negativo:

Passo 5

Para 17c) dy/dt=t y^3/raiz1+t^2, separável:
y^-3dy=traiz1+t^2dt
Integramos:
-tfrac12y^2=raiz1+t^2+C
1y^2=3-2raiz1+t^2
(com condição inicial y(0)=1), então

Passo 6

Para 17d) dy/dt=2t/(1+2y), separável:
(1+2y),dy=2t,dt
Integramos:
y+y^2=t^2+C
Com y(2)=0 C=-4. Resolvendo a quadrática:
y=-1+raiz4t^2-152,
pois esse ramo satisfaz y(2)=0.

Passo 7

Para 17e) dy/dt=t(t^2+1)/(4y^3), separável:
4y^3dy=(t^3+t)dt
Integramos:
y^4=tfract^44+tfract^22+C
Com y(0)=-1/raiz2 vem C=1/4, e simplificando:
y^4=(t^2+1)^24, y=-raizt^2+1raiz2

Passo 8

Para 17f) dy/dx=(e^-x-e^x)/(3+4y), separável:
(3+4y)dy=(e^-x-e^x)dx
Integramos:
3y+2y^2=-e^-x-e^x+C
Com y(0)=1 obtém-se C=7. Resolvendo em y (quadrática):
y=-3+raiz65-8(e^x+e^-x)4

Passo 9

Para 17g) sin2x,dx+cos3y,dy=0, separável:
integralsin2x,dx+integralcos3y,dy=0
Integramos:
-tfrac12cos2x+tfrac13sin3y=C
Com (x,y)=(pi/2,pi/3) achamos C=1/2. Assim a solução implícita é
-12cos2x+13sin3y=12

Passo 10

Para 17h) a forma
(x y^2+x)dx+(x^2y-y)dy=0
é exata ( ∂M/∂y=∂N/∂x=2xy). A potencial é
$$
F=\tfrac{x2}{2}(y2+1)-\tfrac{y^2}{2}=C.
$$
Pois F=tfracx^22(y^2+1)-tfracy^22=C , a constante é F(0,1)=-1/2.

Passo 11

Para 17i) dr/dtheta=r^2/theta, separável:
r^-2dr=theta^-1dtheta
Integramos:
-1r=ln|theta|+C
Logo
r=1C'-ln|theta|,
com r(1)=2 C'=1/2.

Passo 12

Para 18a) temos
2tdydt+2y=t y^3
É Bernoulli: dy/dt+(1/t)y=(t/2)y^3. Fazendo u=y^-2 leva à linear
dudt-2tu=-t,
cuja solução geral é
u=t^2C -t^2ln|t|,
isto é
y^-2=Ct^2-t^2ln|t|

Resposta

17a) y=\sqrt{2e^t(1-t)-1}.
17b) y=-\sqrt{2\ln(1+t^2)+4}.
17c) y=1/\sqrt{3-2\sqrt{1+t^2}}.
17d) y=(-1+\sqrt{4t^2-15})/2.
17e) y=-\frac{\sqrt{t^2+1}}{\sqrt2}.
17f) y=(-3+\sqrt{65-8(ex+e{-x})})/4.
17g) -\tfrac12\cos2x+\tfrac13\sin3y=\tfrac12 ;(solução implícita).
17h) \tfrac{x2}{2}(y2+1)-\tfrac{y^2}{2}=-\tfrac12.
17i) r=1/(\tfrac12-\ln|\theta|).
18a) y{-2}=Ct2-t^2\ln|t|, ;C\in\mathbb R.

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