- Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
- Calcule a solução geral das seguintes equações:
(a)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver vários problemas de valor inicial de EDOs (itens 17a–17i) e, em seguida, achar a solução geral de uma equação no item 18a. O conteúdo principal é o de EDOs de variáveis separáveis ou exatas, e também uma Bernoulli no 18a.
Passo 2
O método geral é: 1) verificar se a EDO é separável (ou exata), 2) separar as variáveis (ou tornar exata), 3) integrar ambos os lados, 4) aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Passo 3
Para 17a) temos a forma diferencial
Reescrevendo como EDO:
, que é separável:
Integramos:
Logo
Com
obtém-se
, então
Passo 4
Para 17b)
é separável:
Integramos:
Logo
Com
vem
e escolhemos o ramo negativo:
Passo 5
Para 17c)
, separável:
Integramos:
(com condição inicial
), então
Passo 6
Para 17d)
, separável:
Integramos:
Com
dá
. Resolvendo a quadrática:
pois esse ramo satisfaz
.
Passo 7
Para 17e)
, separável:
Integramos:
Com
vem
, e simplificando:
Passo 8
Para 17f)
, separável:
Integramos:
Com
obtém-se
. Resolvendo em
(quadrática):
Passo 9
Para 17g)
, separável:
Integramos:
Com
achamos
. Assim a solução implícita é
Passo 10
Para 17h) a forma
é exata (
$$
F=\tfrac{x2}{2}(y2+1)-\tfrac{y^2}{2}=C.
$$
Pois , a constante é
.
Pois
Passo 11
Para 17i)
, separável:
Integramos:
Logo
com
⇒
.
Passo 12
Para 18a) temos
É Bernoulli:
. Fazendo
leva à linear
cuja solução geral é
isto é
Resposta
17a) y=\sqrt{2e^t(1-t)-1}.
17b) y=-\sqrt{2\ln(1+t^2)+4}.
17c) y=1/\sqrt{3-2\sqrt{1+t^2}}.
17d) y=(-1+\sqrt{4t^2-15})/2.
17e) y=-\frac{\sqrt{t^2+1}}{\sqrt2}.
17f) y=(-3+\sqrt{65-8(ex+e{-x})})/4.
17g) -\tfrac12\cos2x+\tfrac13\sin3y=\tfrac12 ;(solução implícita).
17h) \tfrac{x2}{2}(y2+1)-\tfrac{y^2}{2}=-\tfrac12.
17i) r=1/(\tfrac12-\ln|\theta|).
18a) y{-2}=Ct2-t^2\ln|t|, ;C\in\mathbb R.
17b) y=-\sqrt{2\ln(1+t^2)+4}.
17c) y=1/\sqrt{3-2\sqrt{1+t^2}}.
17d) y=(-1+\sqrt{4t^2-15})/2.
17e) y=-\frac{\sqrt{t^2+1}}{\sqrt2}.
17f) y=(-3+\sqrt{65-8(ex+e{-x})})/4.
17g) -\tfrac12\cos2x+\tfrac13\sin3y=\tfrac12 ;(solução implícita).
17h) \tfrac{x2}{2}(y2+1)-\tfrac{y^2}{2}=-\tfrac12.
17i) r=1/(\tfrac12-\ln|\theta|).
18a) y{-2}=Ct2-t^2\ln|t|, ;C\in\mathbb R.