1. Use a série binomial para encontrar a série de Taylor, para as funções dadas à seguir e calcule seu raio de convergência.
    (a) f(x)=raiz1+x

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a função f(x)=raiz1+x em torno de x=0 usando a série binomial generalizada e, em seguida, determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar o resultado sobre expansão de (1+x)^alpha.

Passo 2

A série binomial generalizada diz que, para alphainR e |x|<1, vale:
(1+x)^alpha=sumn=0^inftyalphachoose nx^n,
onde
alphachoose n=alpha(alpha-1)(alpha-2)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 3

No nosso caso, temos alpha=tfrac12. Logo:
raiz1+x=(1+x)^1/2=sumn=0^infty1/2choose nx^n

Passo 4

Vamos calcular os primeiros coeficientes:
Para n=0: 1/2choose0=1.
Para n=1: 1/2choose1=tfrac12.
Para n=2:
1/2choose2=(1/2)(-1/2)2!=-18
Para n=3:
1/2choose3=(1/2)(-1/2)(-3/2)3!=116
Assim os primeiros termos são:
raiz1+x=1+12x-18x^2+116x^3+cdots

Passo 5

Para o termo geral, escrevemos:
raiz1+x=sumn=0^infty12l(12-1r)l(12-2r)cdotsl(12-n+1r)n!,x^n
O raio de convergência dessa série binomial é dado por |x|<1.

Resposta

raiz1+x=sumn=0^infty12choose nx^n=1+12x-18x^2+116x^3-cdots, R=1.

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