- Use a série binomial para encontrar a série de Taylor, para as funções dadas à seguir e calcule seu raio de convergência.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a função
em torno de
usando a série binomial generalizada e, em seguida, determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar o resultado sobre expansão de
.
Passo 2
A série binomial generalizada diz que, para
e
, vale:
onde
Passo 3
No nosso caso, temos
. Logo:
Passo 4
Vamos calcular os primeiros coeficientes:
Para :
.
Para :
.
Para :
Para
Para
Para
Para
:
Assim os primeiros termos são:
Passo 5
Para o termo geral, escrevemos:
O raio de convergência dessa série binomial é dado por
.