Usando algum critério de convergência estude a convergência da série
sumn=0^infty 2^n n!n^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termo geral an = 2^n n!n^n. Vamos aplicar um critério de convergência de séries (neste caso, o critério da razão).

Passo 2

O critério da razão diz que, se definirmos L = limntoinfty |an+1an|, então a série converge absolutamente se L<1, diverge se L>1 e o teste não é conclusivo se L=1.

Passo 3

Para calcular a razão entre termos consecutivos, escrevemos:
[
\frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{2{n+1}(n+1)!/(n+1){n+1}}{2^n n!/n^n}
= 2,(n+1),\frac{nn}{(n+1){n+1}}
= 2,\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n.

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty 2,l(nn+1r)^n = 2limntoinftyl(1-1n+1r)^n = 2e^-1 = 2e
Aqui usamos o fato clássico de que (1-1/(n+1))^nto e^-1.

Passo 5

Como L = tfrac2e <1 (já que 2/eapprox0,74), concluímos pelo critério da razão que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (critério da razão, pois o limite da razão dos termos é 2/e<1).

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