Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
x y^{\prime}+y=2 x ; \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x\,y'(x)+y(x)=2x,
com a condição inicial
y(1)=1.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x em um intervalo que contenha x=1 e que também satisfaça a condição inicial dada.

Passo 2

Vou escolher um método prático para resolver essa equação. A equação está escrita com x\,y' mais um termo com y; é conveniente escrever em uma forma padrão para soluções de equações do tipo “primeira ordem com coeficiente de y' igual a 1” e então usar o fator integrante. Esse método é direto e dá uma solução explícita sem complicações.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão dividindo por x. Como a condição inicial é em x=1, podemos trabalhar no intervalo onde x\neq0 e em particular x>0. Dividindo por x obtemos
y'(x)+\frac{1}{x}\,y(x)=2.
Aqui identifiquei p(x)=\dfrac{1}{x} e q(x)=2.

Passo 4

Explico o conceito de fator integrante: para uma equação da forma
y'+p(x)y=q(x),
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right),
porque multiplicando a equação por \mu(x) o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y(x). No nosso caso calculamos
\int p(x)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Como vamos trabalhar com x>0 (visto que a condição inicial está em x=1), temos
\mu(x)=\exp(\ln x)=x.

Passo 5

Multiplicando a equação padronizada por \mu(x)=x obtemos
x\,y'(x)+y(x)=2x.
Note que esse é exatamente o lado dado no enunciado — e também é igual à derivada do produto x\,y(x), pois
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y(x)\bigr)=x\,y'(x)+1\cdot y(x).
Portanto a equação fica na forma
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y(x)\bigr)=2x.

Passo 6

Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x\,y(x)\bigr)\,dx=\int 2x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x\,y(x). A do lado direito é
\int 2x\,dx = x^{2}+C,
onde C é a constante de integração. Logo obtemos
x\,y(x)=x^{2}+C.

Passo 7

Isolando y(x) para obter a solução geral:
y(x)=\frac{x^{2}+C}{x}=x+\frac{C}{x},
válido para x\neq0.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1 na expressão geral:
1 = y(1)=1+\frac{C}{1}=1+C.
Daí obtemos C=0.

Passo 9

Substituindo C=0 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=x.
Fazendo uma verificação rápida: y'(x)=1, então x\,y'(x)+y(x)=x\cdot 1 + x = 2x, que coincide com o lado direito da equação original, e y(1)=1 é satisfeita.

Resposta

y(x)=x

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