Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com a condição inicial
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
em um intervalo que contenha
e que também satisfaça a condição inicial dada.
Passo 2
Vou escolher um método prático para resolver essa equação. A equação está escrita com
mais um termo com
; é conveniente escrever em uma forma padrão para soluções de equações do tipo “primeira ordem com coeficiente de
igual a 1” e então usar o fator integrante. Esse método é direto e dá uma solução explícita sem complicações.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão dividindo por
. Como a condição inicial é em
, podemos trabalhar no intervalo onde
e em particular
. Dividindo por
obtemos
Aqui identifiquei
e
.
Passo 4
Explico o conceito de fator integrante: para uma equação da forma
o fator integrante é
porque multiplicando a equação por
o lado esquerdo se torna a derivada do produto
. No nosso caso calculamos
Como vamos trabalhar com
(visto que a condição inicial está em
), temos
Passo 5
Multiplicando a equação padronizada por
obtemos
Note que esse é exatamente o lado dado no enunciado — e também é igual à derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica na forma
Passo 6
Agora integro ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A do lado direito é
onde
é a constante de integração. Logo obtemos
Passo 7
Isolando
para obter a solução geral:
válido para
.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Daí obtemos
.
Passo 9
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Fazendo uma verificação rápida:
, então
, que coincide com o lado direito da equação original, e
é satisfeita.