Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^{\prime} ;
y^{\prime}-y=1 ; \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y' - y = 1, \qquad y(0)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x (ou num intervalo) e que verifica a condição inicial y(0)=0.

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + p(x)\,y = q(x).
Comparando com \,y' - y = 1, obtemos
p(x) = -1,\qquad q(x)=1.
Isto significa que podemos usar o método do fator integrante (integrating factor) para resolver a equação. Vou explicar o que é e por que funciona.
Breve aula sobre fator integrante:
  • Para uma equação \,y' + p(x)y = q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x), a parte esquerda se torna a derivada do produto \mu(x)y(x):
\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • Assim a equação vira \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu q, que se integra diretamente.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso p(x)=-1:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -1\,dx\right)=\exp(-x)=e^{-x}.
Expliquei acima por que escolhemos \mu dessa forma.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}\cdot 1.
Reconhecemos a esquerda como derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big) = e^{-x}.
Isto é exatamente a ideia do fator integrante funcionando.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)\,dx = \int e^{-x}\,dx.
Isso dá
e^{-x}y = -e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y = -1 + C e^{x}.
Isso é a solução geral da equação diferencial.
Observação (método rápido alternativo): como o termo do lado direito é constante, também dá para tentar uma solução particular constante y_p=A. Substituindo em y' - y = 1 obtém-se 0 - A = 1\Rightarrow A=-1. A solução geral então é y=y_h+y_p com y_h=Ce^{x}, dando de novo y=-1+Ce^{x}.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial \,y(0)=0. Substituindo x=0 em \,y=-1+Ce^{x} obtemos:
y(0) = -1 + C e^{0} = -1 + C = 0.
Portanto
C = 1.

Passo 7

Substituindo C=1 na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = -1 + e^{x} = e^{x}-1.

Resposta

y(x)=e^{x}-1

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