Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}+9 y=10 e^{-t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais
y^{\prime\prime}+9y=10e^{-t},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas:
\text{EDO: } y^{\prime\prime}+9y=10e^{-t}.
Condições iniciais: \;y(0)=0,\;y'(0)=0.
O objetivo é encontrar y(t) usando a transformada de Laplace e mostrar todos os detalhes (incluindo decomposição em frações parciais, se necessário).

Passo 2

Vou lembrar as definições e propriedades da transformada de Laplace que usamos aqui:
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada de derivadas (para y(t) suficientemente suave):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0),y'(0) são as condições iniciais.
  • Transformadas usuais:
\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a},
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Aqui s é a variável do domínio da transformada; a e b são constantes reais.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}+9\mathcal{L}\{y\}=10\mathcal{L}\{e^{-t}\}.
Usando a fórmula da derivada e as condições iniciais y(0)=0,\;y'(0)=0, temos
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^{2}Y(s).
Então a equação em s fica
s^{2}Y(s)+9Y(s)=10\cdot\frac{1}{s+1},
pois \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{1}{s+1}.

Passo 4

Isolando Y(s),
Y(s)\bigl(s^{2}+9\bigr)=\frac{10}{s+1} \quad\Rightarrow\quad Y(s)=\frac{10}{(s+1)(s^{2}+9)}.
Agora precisamos achar a transformada inversa de Y(s). Para isso vamos decompor em frações parciais.

Passo 5

Fazemos a decomposição
\frac{10}{(s+1)(s^{2}+9)}=\frac{A}{s+1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+9}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s^{2}+9)\) obtemos a identidade polinomial \[10=A(s^{2}+9)+(Bs+C)(s+1).
Expandindo o lado direito:
10 = A s^{2}+9A + Bs^{2} + (B+C)s + C.
Agrupando coeficientes por potências de s:
10 = (A+B)s^{2} + (B+C)s + (9A+C).
Igualando coeficientes com o polinômio constante 10 = 0\cdot s^{2} + 0\cdot s + 10, obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] B+C=0,\\[4pt] 9A+C=10. \end{cases}
Resolvendo: de A+B=0\] segue \(B=-A. De B+C=0 segue C=-B= -(-A)=A. Substituindo em 9A+C=10 9A + A = 10, ou seja 10A=10, logo A=1. Assim B=-1 e C=1.
Portanto a decomposição é
\frac{10}{(s+1)(s^{2}+9)}=\frac{1}{s+1}+\frac{-s+1}{s^{2}+9}.]

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Usamos as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+9}\right\}=\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+9}\right\}=\frac{1}{3}\sin(3t).
Como \dfrac{-s+1}{s^{2}+9}=-\dfrac{s}{s^{2}+9}+\dfrac{1}{s^{2}+9}, temos as transformadas inversas dos termos:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{s}{s^{2}+9}\right\}=-\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+9}\right\}=\frac{1}{3}\sin(3t).
(Estas são as partes que, somadas, dão a solução temporal y(t).)

Resposta

y(t)=e^{-t}-\cos(3t)+\dfrac{1}{3}\sin(3t)

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