Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0, \quad y(1)=-3, \quad y^{\prime}(1)=-17

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''(t)-2y'(t)-3y(t)=0,
com condições iniciais em t=1:
y(1)=-3,\qquad y'(1)=-17.
Dados relevantes:
\text{equação: }y''-2y'-3y=0,çã
\text{condições: }y(1)=-3,\; y'(1)=-17.çõ
O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e essas condições.

Passo 2

Como a transformada de Laplace costuma usar condições em t=0, é conveniente deslocar a origem. Defino
u(\tau)=y(\tau+1),
onde \tau=t-1. Como d\tau/dt=1, as derivadas em relação a \tau coincidem numericamente com as derivadas em relação a t; assim
u'(\tau)=y'(\tau+1),\qquad u''(\tau)=y''(\tau+1).
Substituindo \tau=t-1 na equação original obtemos uma equação para u(\tau) válida para \tau\ge0:
u''(\tau)-2u'(\tau)-3u(\tau)=0.
As condições iniciais em \tau=0 são diretamente
u(0)=y(1)=-3,\qquad u'(0)=y'(1)=-17.

Passo 3

Vou aplicar a transformada de Laplace em \tau. Definição:
\mathcal{L}\{u(\tau)\}(\lambda)=U(\lambda)=\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda \tau}u(\tau)\,d\tau.
Precisamos das fórmulas para transformada de derivadas (mostro rapidamente uma derivação por partes para u'(\tau)): usando integração por partes
\mathcal{L}\{u'(\tau)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda \tau}u'(\tau)\,d\tau =\Big[e^{-\lambda \tau}u(\tau)\Big]_{0}^{\infty}+\lambda\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda \tau}u(\tau)\,d\tau.
Se u tem crescimento menor que exponencial suficiente, o termo na fronteira em \tau\to\infty some, e obtemos
\mathcal{L}\{u'(\tau)\}=\lambda U(\lambda)-u(0).
Aplicando novamente (ou usando a mesma técnica) para a segunda derivada:
\mathcal{L}\{u''(\tau)\}=\lambda^2 U(\lambda)-\lambda u(0)-u'(0).
Aqui u(0)=-3 e u'(0)=-17.

Passo 4

Aplico a transformada de Laplace à equação diferencial
u''(\tau)-2u'(\tau)-3u(\tau)=0.
Transformando termo a termo e usando as fórmulas acima:
\big(\lambda^2 U(\lambda)-\lambda u(0)-u'(0)\big) -2\big(\lambda U(\lambda)-u(0)\big) -3U(\lambda)=0.
Substituo as condições iniciais u(0)=-3 e u'(0)=-17:
\lambda^2 U(\lambda)-\lambda(-3)-(-17)-2\lambda U(\lambda)+2(-3)-3U(\lambda)=0.
Faço as somas dos termos constantes:
\lambda^2 U(\lambda)+3\lambda+17-2\lambda U(\lambda)-6-3U(\lambda)=0.
Simplificando 17-6=11 e coletando U(\lambda):
\big(\lambda^2-2\lambda-3\big)U(\lambda)+3\lambda+11=0.

Passo 5

Isolo U(\lambda):
U(\lambda)=-\frac{3\lambda+11}{\lambda^2-2\lambda-3}.
Fatoro o denominador:
\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1).
Assim
U(\lambda)=-\frac{3\lambda+11}{(\lambda-3)(\lambda+1)}.
Faço decomposição em frações parciais. Procuro constantes A,B tais que
-\big(3\lambda+11\big)=A(\lambda+1)+B(\lambda-3).
Expandindo:
-(3\lambda+11)=(A+B)\lambda+(A-3B).
Igualando coeficientes:
A+B=-3,\qquad A-3B=-11.
Resolvo o sistema: da primeira A=-3-B. Substituindo na segunda:
-3-B-3B=-11\implies -3-4B=-11\implies -4B=-8\implies B=2.
Então A=-3-2=-5. Portanto
U(\lambda)=\frac{A}{\lambda-3}+\frac{B}{\lambda+1}=-\frac{5}{\lambda-3}+\frac{2}{\lambda+1}.

Passo 6

Faço a transformada inversa termo a termo. Lembro que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{\lambda-a}\right\}(\tau)=e^{a\tau}.
Assim
u(\tau)=-5e^{3\tau}+2e^{-\,\tau}.
Posso verificar rapidamente as condições iniciais: u(0)=-5+2=-3 e u'(0)=-15-2=-17, que conferem.

Passo 7

Volto à variável original t. Como \tau=t-1 e u(\tau)=y(t), obtemos
y(t)=u(t-1)=-5e^{3(t-1)}+2e^{-(t-1)}.

Resposta

y(t)=-5e^{3(t-1)}+2e^{-(t-1)}

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