Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com condições iniciais em
:
Dados relevantes:
O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e essas condições.
Passo 2
Como a transformada de Laplace costuma usar condições em
, é conveniente deslocar a origem. Defino
onde
. Como
, as derivadas em relação a
coincidem numericamente com as derivadas em relação a
; assim
Substituindo
na equação original obtemos uma equação para
válida para
:
As condições iniciais em
são diretamente
Passo 3
Vou aplicar a transformada de Laplace em
. Definição:
Precisamos das fórmulas para transformada de derivadas (mostro rapidamente uma derivação por partes para
): usando integração por partes
Se
tem crescimento menor que exponencial suficiente, o termo na fronteira em
some, e obtemos
Aplicando novamente (ou usando a mesma técnica) para a segunda derivada:
Aqui
e
.
Passo 4
Aplico a transformada de Laplace à equação diferencial
Transformando termo a termo e usando as fórmulas acima:
Substituo as condições iniciais
e
:
Faço as somas dos termos constantes:
Simplificando
e coletando
:
Passo 5
Isolo
:
Fatoro o denominador:
Assim
Faço decomposição em frações parciais. Procuro constantes
tais que
Expandindo:
Igualando coeficientes:
Resolvo o sistema: da primeira
. Substituindo na segunda:
Então
. Portanto
Passo 6
Faço a transformada inversa termo a termo. Lembro que
Assim
Posso verificar rapidamente as condições iniciais:
e
, que conferem.
Passo 7
Volto à variável original
. Como
e
, obtemos