Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de valor inicial
com as condições iniciais
As informações relevantes são:
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Aqui vão as fórmulas básicas e o que cada símbolo significa:
onde
é a transformada de Laplace,
é a variável do tempo (domínio temporal) e
é a variável complexa de Laplace (domínio complexificado). Precisamos das fórmulas para transformada de derivadas:
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada; elas transformam derivadas em multiplicações por
mais termos envolvendo as condições iniciais — isso é o que torna a técnica poderosa para problemas de valor inicial.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
Substituindo as fórmulas das derivadas e escrevendo
, obtemos
Agora uso as condições iniciais
e
. Substituindo:
Passo 4
Agrupo os termos em
e os termos numéricos:
Repare que somei os termos numéricos:
, então escrevendo com sinal positivo no numerador,
Logo
Agora fatoro o denominador: procuro fatores lineares. Calculo
pois
. Portanto
Faço fator comum no numerador:
então
Desde que
(ponto onde haveria cancelamento formal), podemos cancelar o fator
e obter
Passo 5
Agora faço a transformada inversa. Uso a regra conhecida:
Aplicando essa regra a
, temos
Verificação rápida das condições iniciais:
e
, batendo com as condições dadas.
Passo 6
Comentário didático sobre frações parciais (para o caso em que não houvesse cancelamento): se tivéssemos que decompor
poderíamos encontrar
e
multiplicando por
e igualando coeficientes:
Tomando
resulta
então
. Tomando
resulta
então
. Isso confirma que a decomposição é
, ou seja, o mesmo resultado que obtivemos pelo cancelamento direto. Esse procedimento de frações parciais é o caminho geral quando não há cancelamento simples.