Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}+k y^{\prime}-2 k^{2} y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=2 k

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de valor inicial
y^{\prime\prime}+k\,y^{\prime}-2k^{2}y=0,
com as condições iniciais
y(0)=2,\qquad y^{\prime}(0)=2k.
As informações relevantes são:
\text{(i) a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes,}ê
\text{(ii) a constante }k\text{ (parâmetro),}â
\text{(iii) as condições iniciais }y(0)=2\text{ e }y'(0)=2k.çõ

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Aqui vão as fórmulas básicas e o que cada símbolo significa:
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s),
onde \mathcal{L} é a transformada de Laplace, t é a variável do tempo (domínio temporal) e s é a variável complexa de Laplace (domínio complexificado). Precisamos das fórmulas para transformada de derivadas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada; elas transformam derivadas em multiplicações por s mais termos envolvendo as condições iniciais — isso é o que torna a técnica poderosa para problemas de valor inicial.

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
\mathcal{L}\{y''\} + k\,\mathcal{L}\{y'\} - 2k^{2}\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{0\}=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, obtemos
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) + k\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) - 2k^{2}Y(s)=0.
Agora uso as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=2k. Substituindo:
s^{2}Y(s)-s\cdot 2 - 2k + k\bigl(sY(s)-2\bigr) - 2k^{2}Y(s)=0.

Passo 4

Agrupo os termos em Y(s) e os termos numéricos:
Y(s)\bigl(s^{2}+k s-2k^{2}\bigr) - \bigl(2s + 2k + 2k\bigr)=0.
Repare que somei os termos numéricos: -s\cdot 2 - 2k - k\cdot 2 = -(2s + 4k), então escrevendo com sinal positivo no numerador,
Y(s)\bigl(s^{2}+k s-2k^{2}\bigr) = 2s + 4k.
Logo
Y(s)=\frac{2s+4k}{s^{2}+k s-2k^{2}}.
Agora fatoro o denominador: procuro fatores lineares. Calculo
s^{2}+k s-2k^{2}=(s+2k)(s-k),
pois (s+2k)(s-k)=s^{2}+k s-2k^{2}. Portanto
Y(s)=\frac{2s+4k}{(s+2k)(s-k)}.
Faço fator comum no numerador:
2s+4k=2(s+2k),
então
Y(s)=\frac{2(s+2k)}{(s+2k)(s-k)}.
Desde que s\neq -2k (ponto onde haveria cancelamento formal), podemos cancelar o fator (s+2k) e obter
Y(s)=\frac{2}{s-k}.

Passo 5

Agora faço a transformada inversa. Uso a regra conhecida:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}.
Aplicando essa regra a Y(s)=2/(s-k), temos
y(t)=2\,\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-k}\right\}=2e^{k t}.
Verificação rápida das condições iniciais: \;y(0)=2e^{0}=2 e \;y'(t)=2k e^{k t}\Rightarrow y'(0)=2k, batendo com as condições dadas.

Passo 6

Comentário didático sobre frações parciais (para o caso em que não houvesse cancelamento): se tivéssemos que decompor
\frac{2s+4k}{(s+2k)(s-k)}=\frac{A}{s-k}+\frac{B}{s+2k},
poderíamos encontrar A e B multiplicando por (s-k)(s+2k) e igualando coeficientes:
A(s+2k)+B(s-k)=2s+4k.
Tomando s=k resulta A(3k)=2k+4k=6k então A=2. Tomando s=-2k resulta B(-3k)=-4k+4k=0 então B=0. Isso confirma que a decomposição é \dfrac{2}{s-k}+\dfrac{0}{s+2k}, ou seja, o mesmo resultado que obtivemos pelo cancelamento direto. Esse procedimento de frações parciais é o caminho geral quando não há cancelamento simples.

Resposta

y(t)=2e^{k t}

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