Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0, \quad y(0)=6, \quad y^{\prime}(0)=13

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos o problema de valor inicial
y''-y'-6y=0,
com as condições iniciais
y(0)=6,\qquad y'(0)=13.
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e as duas condições iniciais numericamente especificadas. A tarefa é obter y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em termos da transformada de y. Breve apresentação do que é a transformada de Laplace e por que funciona bem aqui:
Definição: para uma função f(t) (definida para t\ge0), sua transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Chamaremos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). A utilidade principal: a transformada converte derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) e introduz os valores iniciais, transformando a EDO em uma equação algébrica que é mais simples de resolver.
Propriedades que usaremos (valem para funções razoáveis, e aqui aplicamos formalmente):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui s é a variável complexa da transformada e Y(s) é a transformada de y(t). As quantidades y(0) e y'(0) são as condições iniciais fornecidas.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
y''-y'-6y=0.
Usando as fórmulas das derivadas, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}-\mathcal{L}\{y'\}-6\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)-6Y(s)=0.
Agora colocamos os valores iniciais y(0)=6 e y'(0)=13:
\bigl(s^{2}Y(s)-6s-13\bigr)-\bigl(sY(s)-6\bigr)-6Y(s)=0.

Passo 4

Agrupamos os termos que envolvem Y(s) e os termos constantes:
\bigl(s^{2}Y(s)-sY(s)-6Y(s)\bigr)+\bigl(-6s-13+6\bigr)=0.
Simplificando os termos constantes:
-6s-13+6=-6s-7.
Fatorando Y(s):
\bigl(s^{2}-s-6\bigr)Y(s)-6s-7=0.
Isolando Y(s):
\bigl(s^{2}-s-6\bigr)Y(s)=6s+7,
logo
Y(s)=\frac{6s+7}{s^{2}-s-6}.

Passo 5

Fatoramos o denominador para preparar frações parciais:
s^{2}-s-6=(s-3)(s+2).
Então
Y(s)=\frac{6s+7}{(s-3)(s+2)}.
Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{6s+7}{(s-3)(s+2)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-3)(s+2)\), obtemos a identidade \[6s+7 = A(s+2)+B(s-3).
Expandindo o lado direito:
6s+7 = (A+B)s + (2A-3B).
Igualando coeficientes em s e constantes, obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=6,\\[4pt] 2A-3B=7. \end{cases}
Resolvendo: de A=6-B\]. Substituindo na segunda equação: \[2(6-B)-3B=7 \implies 12-2B-3B=7 \implies 12-5B=7 \implies -5B=-5 \implies B=1.\] Então \(A=6-B=5. Logo a decomposição é
Y(s)=\frac{5}{s-3}+\frac{1}{s+2}.]

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa. Lembrando pares básicos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}\quad\text{(para \(t\ge0\))}.
Cuidar do sinal: \frac{1}{s+2}=\frac{1}{s-(-2)} corresponde a e^{-2t}.
Aplicando a inversa a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{5}{s-3}\right\}=5e^{3t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
Pela linearidade da transformada inversa,
y(t)=5e^{3t}+e^{-2t}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (sanity check): em t=0,
y(0)=5+1=6,
e
y'(t)=15e^{3t}-2e^{-2t}\implies y'(0)=15-2=13,
coincidindo com as condições iniciais dadas. Isso aumenta nossa confiança de que a solução está correta.

Resposta

y(t)=5e^{3t}+e^{-2t}

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