Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos o problema de valor inicial
com as condições iniciais
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e as duas condições iniciais numericamente especificadas. A tarefa é obter
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em termos da transformada de
. Breve apresentação do que é a transformada de Laplace e por que funciona bem aqui:
Definição: para uma função
(definida para
), sua transformada de Laplace é
Chamaremos
. A utilidade principal: a transformada converte derivadas em polinômios em
multiplicando
e introduz os valores iniciais, transformando a EDO em uma equação algébrica que é mais simples de resolver.
Propriedades que usaremos (valem para funções razoáveis, e aqui aplicamos formalmente):
Aqui
é a variável complexa da transformada e
é a transformada de
. As quantidades
e
são as condições iniciais fornecidas.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
Usando as fórmulas das derivadas, obtemos
Substituindo:
Agora colocamos os valores iniciais
e
:
Passo 4
Agrupamos os termos que envolvem
e os termos constantes:
Simplificando os termos constantes:
Fatorando
:
Isolando
:
logo
Passo 5
Fatoramos o denominador para preparar frações parciais:
Então
Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes em
e constantes, obtemos o sistema
Resolvendo: de
. Logo a decomposição é
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa. Lembrando pares básicos:
Cuidar do sinal:
corresponde a
.
Aplicando a inversa a cada termo:
Pela linearidade da transformada inversa,
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (sanity check): em
,
e
coincidindo com as condições iniciais dadas. Isso aumenta nossa confiança de que a solução está correta.