(1,5 ponto) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375 pi cm^3. O custo do material utilizado para a base do recipiente é de R por por e o custo do material utilizado na lateral é de e o custo do material utilizado na lateral é de por 0,05. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para construí-lo e calcule este custo. Obs.: Utilize duas casas decimais com arredondamento.

Passo 1

O problema pede um cilindro aberto no topo com volume de 375pi,cm^3, usando materiais com custos diferentes na base (R$ 0,15/cm²) e na lateral (R$ 0,05/cm²), e queremos encontrar raio 0,15/cm²) e na lateral (R e altura r que minimizem o custo total.

Passo 2

Como o volume do cilindro é dado por V=pi r^2h e deve valer 375pi, da relação
pi r^2h=375pi
segue que
h=375r^2

Passo 3

A área da base é pi r^2 e da lateral é 2pi r h. Assim o custo total é
C(r)=0,15cdotpi r^2+0,05cdot2pi r h =0,15pi r^2+0,10pi r h
Substituindo h=375/r^2:
C(r)=0,15pi r^2+0,10pi r375r^2 =0,15pi r^2+37,5pi1r

Passo 4

Para achar o mínimo, calculamos a derivada:
C'(r)=0,30pi r-37,5pi1r^2
e igualamos a zero:
0,30pi r=37,5pi1r^2
Logo
r^3=37,50,30=125
e
r=5,cm

Passo 5

Com r=5,cm temos
h=3755^2=37525=15,cm

Passo 6

O custo mínimo é
Cmin=0,15picdot5^2+0,10picdot5cdot15 =3,75pi+7,5pi=11,25piapprox35,34,R$

Resposta

Raio = 5,00 cm; Altura = 15,00 cm; Custo mínimo ≈ R$ 35,34

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