(1,5 ponto) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de
. O custo do material utilizado para a base do recipiente é de
por
e o custo do material utilizado na lateral é de
por
. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para construí-lo e calcule este custo. Obs.: Utilize duas casas decimais com arredondamento.
Passo 1
O problema pede um cilindro aberto no topo com volume de
, usando materiais com custos diferentes na base (R$ 0,15/cm²) e na lateral (R$ 0,05/cm²), e queremos encontrar raio
e altura
que minimizem o custo total.
Passo 2
Como o volume do cilindro é dado por
e deve valer
, da relação
segue que
Passo 3
A área da base é
e da lateral é
. Assim o custo total é
Substituindo
:
Passo 4
Para achar o mínimo, calculamos a derivada:
e igualamos a zero:
Logo
e
Passo 5
Com
temos
Passo 6
O custo mínimo é
Resposta
Raio = 5,00 cm; Altura = 15,00 cm; Custo mínimo ≈ R$ 35,34