Calcule para os seguintes dados. Se é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de . Esboce C.
vai diretamente de até e depois sobe verticalmente até : .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC vec F(vec r)cdot dvec r onde vec F(x,y)=[y^3,,x^3] e o caminho C vai de A(0,0) até B(2,0) em linha reta horizontal e depois de B(2,0) até C(2,20) em linha reta vertical. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial e vamos precisar parametrizar cada trecho de C.

Passo 2

Vamos dividir C em dois segmentos e parametrizar cada um, esboçando mentalmente o caminho que é um «L»: 1) segmento horizontal C1 de (0,0) a (2,0), 2) segmento vertical C2 de (2,0) a (2,20). Para C1 escolhemos vec r1(t)=(t,0), tin[0,2]. Para C2 escolhemos vec r2(s)=(2,s), sin[0,20].

Passo 3

Calcular integralC1vec Fcdot dvec r. Temos em C1: y=0 e dvec r=(dt,0). Logo
integralC1 vec Fcdot dvec r = integral0^2 l(y^3, x^3r)cdot (dt,0)=integral0^2 0,dt =0

Passo 4

Calcular integralC2vec Fcdot dvec r. Em C2: x=2, dvec r=(0,ds) e vec F=(y^3,2^3)=(y^3,8). Logo
integralC2 vec Fcdot dvec r = integral0^20 (y^3,8)cdot(0,ds)=integral0^208,ds =8times20=160

Passo 5

Somando as duas contribuições o trabalho total é
0+160=160

Resposta

160

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