Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y’’+4x y’+(x^{2}+2)y=0
usando o método de Frobenius e, quando possível, reconhecer as séries obtidas como expansões de funções conhecidas (por exemplo, senos e cossenos). Vamos precisar assumir uma solução do tipo
x^{2}y’’+4x y’+(x^{2}+2)y=0
usando o método de Frobenius e, quando possível, reconhecer as séries obtidas como expansões de funções conhecidas (por exemplo, senos e cossenos). Vamos precisar assumir uma solução do tipo
encontrar a equação indicial, obter as recorrências para os coeficientes
Passo 2
Substituímos
na equação:
O termo indicial resulta de coletar as menores potências de
que simplifica para
cuja solução é
Passo 3
Para
, obtemos uma recorrência (pulando detalhes algébricos) que dá coeficientes não nulos apenas para índices pares. Escolhendo
, mostra-se por indução que
Assim
que reconhecemos como
.
Passo 4
Para
, de modo análogo a recorrência leva a coeficientes
$$a_{2k}=(-1)^k\frac{a_0}{(2k)!},\quad a_{2k+1}=0.
isto é,
.
Passo 5
Como as duas soluções encontradas são independentes, uma base de soluções gerais para a equação é formada por
$$y_1(x)=\frac{\sin x}{x^2},\qquad y_2(x)=\frac{\cos x}{x^2}.
$$
Resposta
Uma base de soluções é dada por