Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
x^2 y^prime prime+4 x y^prime+(x^2+2) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y’’+4x y’+(x^{2}+2)y=0
usando o método de Frobenius e, quando possível, reconhecer as séries obtidas como expansões de funções conhecidas (por exemplo, senos e cossenos). Vamos precisar assumir uma solução do tipo
y(x)=sumn=0^inftyanx^n+m,
encontrar a equação indicial, obter as recorrências para os coeficientes an e, por fim, identificar as séries formadas.

Passo 2

Substituímos y(x)=sumn=0^inftyanx^n+m na equação:
x^2y''+4x y'+(x^2+2)y=0
O termo indicial resulta de coletar as menores potências de x:
m(m-1)+4m+2=0
que simplifica para
m^2+3m+2=0
cuja solução é
m=-1ou m=-2

Passo 3

Para m=-1, obtemos uma recorrência (pulando detalhes algébricos) que dá coeficientes não nulos apenas para índices pares. Escolhendo a0neq0, mostra-se por indução que
a2k=(-1)^ka0(2k+1)!, a2k+1=0
Assim
y1(x)=sumk=0^infty a2kx^2k-1=a0,x^-2sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!=a0,sin xx^2
que reconhecemos como sin x/x^2.

Passo 4

Para m=-2, de modo análogo a recorrência leva a coeficientes
$$a_{2k}=(-1)^k\frac{a_0}{(2k)!},\quad a_{2k+1}=0.
a2k=(-1)^ka0(2k)!, a2k+1=0 y_2(x)=\sum_{k=0}^\infty a_{2k}x{2k-2}=a_0,x{-2}\sum_{k=0}\infty(-1)k\frac{x^{2k}}{(2k)!}=a_0,\frac{\cos x}{x^2},$$
isto é, y2(x)=sumk=0^infty a2kx^2k-2=a0,x^-2sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!=a0,cos xx^2,.

Passo 5

Como as duas soluções encontradas são independentes, uma base de soluções gerais para a equação é formada por
$$y_1(x)=\frac{\sin x}{x^2},\qquad y_2(x)=\frac{\cos x}{x^2}.
$$

Resposta

Uma base de soluções é dada por
l,sin xx^2,;cos xx^2r

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