Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right\}.
Informações dadas: a expressão no domínio de s é \dfrac{s}{(s^{2}+1)^{2}}. O objetivo é encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 2

Vou usar duas propriedades básicas da transformada de Laplace (e explico por quê):
  • Transformada da função seno: \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}. Aqui s é a variável do domínio de Laplace e t é a variável de tempo.
  • Regra do fator t: para uma função f(t) com transformada F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, vale
\mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s).
Explicação curta dessa regra: por definição F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt. Diferenciando em s e trocando derivada com integral (condições usuais satisfeitas) obtém-se \dfrac{d}{ds}F(s)=-\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}f(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t f(t)\}. Ou seja, multiplicar por t no tempo equivale a diferenciar com sinal contrário no domínio s.

Passo 3

Calculo a derivada de \dfrac{1}{s^{2}+1} para relacioná-la com a expressão dada:
\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right) = \frac{d}{ds}\!(s^{2}+1)^{-1} = -1\cdot (s^{2}+1)^{-2}\cdot 2s = -\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Reescrevo a expressão dada usando a derivada calculada:
\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}} = -\frac{1}{2}\,\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right).
Note que aqui usei exatamente que \dfrac{d}{ds}\!\left(\dfrac{1}{s^{2}+1}\right)=-\dfrac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora uso a propriedade da transformada inversa ligada à derivada: como \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}, tem-se
-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=\mathcal{L}\{t\sin t\}.
Portanto, substituindo em \dfrac{s}{(s^{2}+1)^{2}}=-\tfrac{1}{2}\dfrac{d}{ds}(\tfrac{1}{s^{2}+1}), obtemos
\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{t\sin t\}.
Daí a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}\right\}=\frac{1}{2}\,t\sin t.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): usando a regra do passo anterior à inversa, \mathcal{L}\{t\sin t\}=-\dfrac{d}{ds}\!\left(\dfrac{1}{s^{2}+1}\right)=\dfrac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}. Multiplicando por \dfrac{1}{2} recupera-se exatamente \dfrac{s}{(s^{2}+1)^{2}}, confirmando a resposta.

Resposta

\dfrac{1}{2}\,t\sin t

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