Nos itens a seguir, calcule as inversas das transformadas de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa
Informações dadas: a expressão no domínio de
é
. O objetivo é encontrar a função
tal que
.
Passo 2
Vou usar duas propriedades básicas da transformada de Laplace (e explico por quê):
- Transformada da função seno:
. Aqui é a variável do domínio de Laplace e é a variável de tempo. - Regra do fator
: para uma função com transformada , vale
Explicação curta dessa regra: por definição
. Diferenciando em
e trocando derivada com integral (condições usuais satisfeitas) obtém-se
. Ou seja, multiplicar por
no tempo equivale a diferenciar com sinal contrário no domínio
.
Passo 3
Calculo a derivada de
para relacioná-la com a expressão dada:
Passo 4
Reescrevo a expressão dada usando a derivada calculada:
Note que aqui usei exatamente que
.
Passo 5
Agora uso a propriedade da transformada inversa ligada à derivada: como
, tem-se
Portanto, substituindo em
, obtemos
Daí a transformada inversa é
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): usando a regra do passo anterior à inversa,
. Multiplicando por
recupera-se exatamente
, confirmando a resposta.