Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime+y^prime-2 y=r(t), r(t)=3 sen t-cos t se 0 2 pi e 3 sen 2 t-cos 2 t se t>2 pi y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+y'-2y=r(t), y(0)=1,;y'(0)=0,
sendo
r(t)=3sin t-cos t,&02pi
Vamos usar transformada de Laplace e o teorema do deslocamento para obter a solução em cada intervalo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)= Ly(t), temos
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s, Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s)-1, Ly=Y(s)
Logo a equação vira
(s^2Y(s)-s)+(sY(s)-1)-2Y(s)=R(s),
o que se rearranja para
Y(s),(s^2+s-2)-(s+1)=R(s)
ou
Y(s)=s+1+R(s)(s-1)(s+2)

Passo 3

Precisamos agora de R(s)= Lr(t). Escrevemos
r(t)=f1(t)+l(f2(t)-f1(t)r)u(t-2pi),
com f1(t)=3sin t-cos t e f2(t)=3sin2t-cos2t. Assim
Lf1= 3s^2+1-ss^2+1=3-ss^2+1, Lf2= 6s^2+4-ss^2+4=6-ss^2+4
Pelo teorema do deslocamento,
R(s)=3-ss^2+1+e^-2pi sl[6-ss^2+4-3-ss^2+1r]

Passo 4

Substituindo em Y(s)=dfracs+1+R(s)(s-1)(s+2), separamos em duas partes:
Y(s)=Y1(s)+e^-2pi sY2(s),
o que corresponde a uma parte não deslocada (para 0) e outra deslocada. Concentremo-nos em
Y1(s)=s+1(s-1)(s+2)+3-s(s^2+1)(s-1)(s+2)

Passo 5

Fazendo frações parciais de Y1(s) e invertendo, obtemos
y1(t)=e^t-sin t,
válido para 0.

Passo 6

Para a parte deslocada aplicamos o teorema do deslocamento: a porção
Y2(s)=6-ss^2+4-3-ss^2+1(s-1)(s+2)
invertida gera uma função g(t) tal que a contribuição é g(t-2pi)u(t-2pi). Calculando esse g(t)
g(t)=e^t-tfrac12sin2t,
e aplicando o deslocamento finalizamos
y2(t)=l[e^t-2pi-tfrac12sin2(t-2pi)r]u(t-2pi)=e^t-tfrac12sin2t
para t>2pi.

Passo 7

Reunindo as duas partes em forma piecewise, a solução contínua em t=2pi fica:

Resposta

y(t)= e^t-sin t,&02pi

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