Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
sen
se
se
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
sendo
Vamos usar transformada de Laplace e o teorema do deslocamento para obter a solução em cada intervalo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando
, temos
Logo a equação vira
o que se rearranja para
ou
Passo 3
Precisamos agora de
. Escrevemos
com
e
. Assim
Pelo teorema do deslocamento,
Passo 4
Substituindo em
, separamos em duas partes:
o que corresponde a uma parte não deslocada (para
) e outra deslocada. Concentremo-nos em
Passo 5
Fazendo frações parciais de
e invertendo, obtemos
válido para
.
Passo 6
Para a parte deslocada aplicamos o teorema do deslocamento: a porção
invertida gera uma função
tal que a contribuição é
. Calculando esse
dá
e aplicando o deslocamento finalizamos
para
.
Passo 7
Reunindo as duas partes em forma piecewise, a solução contínua em
fica: