Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty. y^{\prime}(t)+(2 / t) y(t)=\frac{
cos t}{t^{2}}, y(\pi)=0, t>0
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
Perguntas: (i) encontrar a solução y(t) definida para t>0; (ii) verificar o comportamento de y(t) quando t\to\infty.
Informações relevantes dadas:
É uma equação diferencial de primeira ordem com termo \dfrac{2}{t}\,y(t) e termo conhecido \dfrac{\cos t}{t^{2}}.
Condição inicial: y(\pi)=0.
Domínio considerado: t>0.
Passo 2
Identificar o tipo de equação e o método a usar.
Esta é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t),
com p(t)=\dfrac{2}{t} e q(t)=\dfrac{\cos t}{t^{2}}. Para resolver equações lineares de primeira ordem usa-se o fator integrante (integrating factor). A ideia do fator integrante é encontrar uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)\,y(t). Depois integra-se e isola-se y(t).