Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
y^{\prime}(t)+(2 / t) y(t)=\frac{ cos t}{t^{2}}, y(\pi)=0, t>0

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais são os dados fornecidos.
  • Enunciado: resolver o problema de valor inicial
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=\frac{\cos t}{t^{2}},\qquad y(\pi)=0,\qquad t>0.
  • Perguntas: (i) encontrar a solução y(t) definida para t>0; (ii) verificar o comportamento de y(t) quando t\to\infty.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial de primeira ordem com termo \dfrac{2}{t}\,y(t) e termo conhecido \dfrac{\cos t}{t^{2}}.
  • Condição inicial: y(\pi)=0.
  • Domínio considerado: t>0.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e o método a usar.
Esta é uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t),
com p(t)=\dfrac{2}{t} e q(t)=\dfrac{\cos t}{t^{2}}. Para resolver equações lineares de primeira ordem usa-se o fator integrante (integrating factor). A ideia do fator integrante é encontrar uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)\,y(t). Depois integra-se e isola-se y(t).

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Aqui p(t)=\dfrac{2}{t}, assim
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{2}{t}\,dt\right)=\exp(2\ln t).
Usando \exp(2\ln t)=t^{2} (válido para t>0), obtemos
\mu(t)=t^{2}.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e reescrever como derivada de produto.
Multiplicando ambos os lados por t^{2}
t^{2}y'(t)+2t\,y(t)=\cos t.
Agora notar que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^{2}y(t), pois
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y(t)\bigr)=2t\,y(t)+t^{2}y'(t).
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y(t)\bigr)=\cos t.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter a solução geral.
Integramos em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y(t)\bigr)\,dt=\int \cos t\,dt.
A integração dá
t^{2}y(t)=\sin t + C,
onde C é constante de integração. Isolando y(t),
y(t)=\frac{\sin t + C}{t^{2}}.
Isto é a solução geral da equação diferencial válida para t>0.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(\pi)=0 para determinar a constante C.
Substituindo t=\pi na solução geral:
y(\pi)=\frac{\sin \pi + C}{\pi^{2}}.
Como \sin \pi=0 e y(\pi)=0 pelo enunciado, obtemos
0=\frac{0 + C}{\pi^{2}}\quad\Rightarrow\quad C=0.
Assim a constante é zero e a solução particular com a condição inicial é
y(t)=\frac{\sin t}{t^{2}},\qquad t>0.

Passo 7

Verificar (didaticamente) que a solução realmente satisfaz a equação original.
Calcular y'(t) a partir de y(t)=\dfrac{\sin t}{t^{2}}. Usando a regra do quociente (ou produto: \sin t\cdot t^{-2}):
y'(t)=\frac{(\cos t)\,t^{2} - \sin t\cdot 2t}{t^{4}}=\frac{t^{2}\cos t -2t\sin t}{t^{4}}=\frac{\cos t}{t^{2}}-\frac{2\sin t}{t^{3}}.
Agora formar y'(t)+\dfrac{2}{t}y(t):
y'(t)+\frac{2}{t}y(t)=\left(\frac{\cos t}{t^{2}}-\frac{2\sin t}{t^{3}}\right)+\frac{2}{t}\cdot\frac{\sin t}{t^{2}}=\frac{\cos t}{t^{2}}.
Isso coincide com o lado direito da equação original, então a solução está correta.

Passo 8

Analisar o comportamento de y(t) quando t\to\infty.
A solução é y(t)=\dfrac{\sin t}{t^{2}}. Sabendo que \sin t é uma função limitada, isto é |\sin t|\le 1 para todo t, podemos estimar
\left|y(t)\right|=\left|\frac{\sin t}{t^{2}}\right|\le\frac{1}{t^{2}}.
Como \dfrac{1}{t^{2}}\to 0 quando t\to\infty, pelo confronto segue que
\lim_{t\to\infty} y(t)=0.
Portanto a solução tende a zero quando t\to\infty, e além disso decai como ordem 1/t^{2}.

Resposta

y(t)=\dfrac{\sin t}{t^{2}}\
\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=0

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