Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial (peguei tudo do enunciado):
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial. - Verificar o comportamento da solução quando
(isto é, calcular ou descrever ).
Passo 2
Vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividindo por
, possível porque
):
Simplificando o lado direito:
Assim a equação fica
Aqui é importante reconhecer que temos uma equação linear da forma
com
e
.
Passo 3
Vou usar o fator integrante. Explico rapidinho por que: se escolhermos
, então
satisfaz
, ou seja o lado esquerdo da equação multiplicada por
se torna uma derivada exata, o que facilita integrar.
Calcule o fator integrante:
onde usei que
para poder simplificar
.
Passo 4
Multiplico a equação padrão por
:
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada:
Portanto obtemos
Passo 5
Integro ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Agora resolvo para
dividindo por
:
Passo 6
Agora imponho a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Calculo a soma dos termos constantes sem
:
Então
Passo 7
Substituo
na solução geral para obter a solução particular:
Passo 8
Vou verificar rapidamente que esta função satisfaz a equação original (checagem curta): calcule
:
Multiplicando por
e somando
:
Somando:
como exigido pela equação original. A solução está correta.
Passo 9
Análise do comportamento quando
. A expressão de
é
Para
o termo dominante é
, que diverge para
. Os outros termos são de ordem menor (
, constante e
). Assim
Também nota-se que
, ou seja
cresce quadráticamente com coeficiente dominante
.