Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
t y^{\prime}(t)+2 y(t)=t^{2}-t+1, y(1)=\frac{1}{2}, t>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial (peguei tudo do enunciado):
  • Equação diferencial: t\,y'(t)+2\,y(t)=t^{2}-t+1,\qquad t>0.
  • Condição inicial: y(1)=\frac{1}{2}.
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação e a condição inicial.
  • Verificar o comportamento da solução quando t\to\infty (isto é, calcular ou descrever \lim_{t\to\infty}y(t)).

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividindo por t, possível porque t>0):
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=\frac{t^{2}-t+1}{t}.
Simplificando o lado direito:
\frac{t^{2}-t+1}{t}=t-1+\frac{1}{t}.
Assim a equação fica
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=t-1+\frac{1}{t}.
Aqui é importante reconhecer que temos uma equação linear da forma \,y'+p(t)y=q(t)\, com p(t)=\dfrac{2}{t} e q(t)=t-1+\dfrac{1}{t}.

Passo 3

Vou usar o fator integrante. Explico rapidinho por que: se escolhermos \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}, então \mu(t)y satisfaz (\mu y)'=\mu y'+\mu p y, ou seja o lado esquerdo da equação multiplicada por \mu se torna uma derivada exata, o que facilita integrar.
Calcule o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{2}{t}\,dt\right)=\exp(2\ln t)=\exp(\ln t^{2})=t^{2},
onde usei que t>0 para poder simplificar \exp(2\ln t)=t^{2}.

Passo 4

Multiplico a equação padrão por \mu(t)=t^{2}:
t^{2}y'(t)+2t\,y(t)=t^{2}\left(t-1+\frac{1}{t}\right)=t^{3}-t^{2}+t.
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada:
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=t^{2}y'(t)+2t\,y(t).
Portanto obtemos
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y(t)\big)=t^{3}-t^{2}+t.

Passo 5

Integro ambos os lados em t:
t^{2}y(t)=\int\big(t^{3}-t^{2}+t\big)\,dt=\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}+C,
onde C é constante de integração. Agora resolvo para y(t) dividindo por t^{2}:
y(t)=\frac{t^{4}}{4t^{2}}-\frac{t^{3}}{3t^{2}}+\frac{t^{2}}{2t^{2}}+\frac{C}{t^{2}} =\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+\frac{C}{t^{2}}.

Passo 6

Agora imponho a condição inicial \,y(1)=\dfrac{1}{2}. Substituindo t=1 na expressão de y(t):
\frac{1}{2}=y(1)=\frac{1^{2}}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{C}{1^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C.
Calculo a soma dos termos constantes sem C:
\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3-4+6}{12}=\frac{5}{12}.
Então
\frac{1}{2}=\frac{5}{12}+C\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}-\frac{5}{12}=\frac{6-5}{12}=\frac{1}{12}.

Passo 7

Substituo C=\dfrac{1}{12} na solução geral para obter a solução particular:
y(t)=\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12\,t^{2}}.

Passo 8

Vou verificar rapidamente que esta função satisfaz a equação original (checagem curta): calcule y'(t):
y'(t)=\frac{t}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6\,t^{3}}.
Multiplicando por t e somando 2y(t):
t\,y'(t)=\frac{t^{2}}{2}-\frac{t}{3}-\frac{1}{6\,t^{2}},
2y(t)=\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t}{3}+1+\frac{1}{6\,t^{2}}.
Somando:
t\,y'(t)+2y(t)=\bigg(\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{2}}{2}\bigg)+\bigg(-\frac{t}{3}-\frac{2t}{3}\bigg)+\bigg(-\frac{1}{6t^{2}}+\frac{1}{6t^{2}}\bigg)+1=t^{2}-t+1,
como exigido pela equação original. A solução está correta.

Passo 9

Análise do comportamento quando t\to\infty. A expressão de y(t) é
y(t)=\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12\,t^{2}}.
Para t\to\infty o termo dominante é \dfrac{t^{2}}{4}, que diverge para +\infty. Os outros termos são de ordem menor ( t, constante e t^{-2}). Assim
\lim_{t\to\infty}y(t)=+\infty.
Também nota-se que \displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{y(t)}{t^{2}}=\frac{1}{4}, ou seja y(t) cresce quadráticamente com coeficiente dominante \dfrac{1}{4}.

Resposta

y(t)=\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12\,t^{2}}
\lim_{t\to\infty}y(t)=+\infty ]

Exercícios relacionados