Resolva os seguintes problemas de valor inicial e verifique o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
y^{\prime}(t)-2 y(t)=e^{2 t}, y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(t)-2y(t)=e^{2t},\qquad y(0)=2.
As perguntas são:
  • Encontrar a solução y(t) definida para t real que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
  • Verificar o comportamento dessa solução quando t\to\infty.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e não homogênea.
  • A condição inicial é y(0)=2.

Passo 2

Vamos usar o método do fator integrante (uma técnica padrão para equações lineares de primeira ordem). Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t).
Aqui temos p(t)=-2 e q(t)=e^{2t}.
Explicando o fator integrante: para uma equação y'+p(t)y=q(t) define-se o fator integrante
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
A ideia é que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(t)y(t):
\mu(t)y'(t)+\mu(t)p(t)y(t)=\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big).
Isso ocorre porque \frac{d}{dt}\big(\mu y\big)=\mu y'+\mu' y e \mu'=\mu p por construção de \mu.
No nosso caso,
\mu(t)=e^{\int -2\,dt}=e^{-2t}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t)=e^{-2t} obtemos
e^{-2t}y'(t)-2e^{-2t}y(t)=e^{-2t}e^{2t}=1.
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}y(t)\big)=1.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{-2t}y(t)\big)\,dt=\int 1\,dt.
Isso dá
e^{-2t}y(t)=t+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando y(t) obtemos a solução geral
y(t)=e^{2t}\big(t+C\big).
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo t=0,
y(0)=e^{0}(0+C)=C.
Como y(0)=2, segue que C=2.
Dessa forma, a constante foi determinada como C=2.

Passo 5

Comentário didático (método alternativo): podia-se também resolver escrevendo a solução como soma da solução homogênea e de uma particular. A homogênea é solução de y'-2y=0, cujo conjunto de soluções é y_h(t)=K e^{2t}. Como o termo forçante é e^{2t}, que coincide com a solução homogênea, tenta-se um particular da forma y_p(t)=a t e^{2t}. Calculando y_p' e substituindo, encontra-se a=1, logo y_p(t)=t e^{2t}. Assim y=y_h+y_p= e^{2t}(K+t), e com y(0)=2 obtém-se K=2, dando a mesma solução que acima. Esse método é útil para entender por que aparece o fator t na solução particular.

Passo 6

Verificação rápida (opcional): derivando a solução encontrada y(t)=e^{2t}(t+2) e substituindo na equação original, obtém-se igualdade (pode-se fazer a conta se quiser confirmar passo a passo). Isso garante que a solução encontrada realmente satisfaz a EDO.

Passo 7

Comportamento para t\to\infty. A solução encontrada é
y(t)=e^{2t}(t+2).
Como e^{2t} cresce exponencialmente e t+2 cresce apenas linearmente, o produto cresce sem limite. Em linguagem clara: a função y(t) tende para +\infty quando t\to\infty. Formalmente,
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{t\to\infty} e^{2t}(t+2)=+\infty.
Isso significa solução não é limitada e apresenta crescimento exponencial dominado por e^{2t}.

Resposta

y(t)=e^{2t}(t+2)
\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=+\infty

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