Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}-5 y=0 com y(0)=2 e y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais. As informações dadas são:
y''-5y=0,
y(0)=2,
y'(0)=0.

Passo 2

Vamos tentar uma solução da forma y(x)=e^{rx}. Esta é uma técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: assumimos y=e^{rx} porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}, o que facilita a substituição. Calculando as derivadas temos:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2}e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial obtemos uma equação algébrica para r.

Passo 3

Substituindo y'',y em \;y''-5y=0\;
r^{2}e^{rx}-5e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica
r^{2}-5=0.
Resolvendo,
r^{2}=5\quad\Rightarrow\quad r=\pm\sqrt{5}.

Passo 4

Como as raízes r=\sqrt{5} e r=-\sqrt{5} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{\sqrt{5}x}+C_{2}e^{-\sqrt{5}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada y'(x) para aplicar a condição inicial sobre y':
y'(x)=C_{1}\sqrt{5}\,e^{\sqrt{5}x}-C_{2}\sqrt{5}\,e^{-\sqrt{5}x}.
Aqui usei a regra de derivação de e^{ax}: \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}.

Passo 6

Aplicando y(0)=2. Substituindo x=0 em y(x) obtemos
y(0)=C_{1}+C_{2}=2.

Passo 7

Aplicando y'(0)=0. Substituindo x=0 em y'(x) obtemos
y'(0)=C_{1}\sqrt{5}-C_{2}\sqrt{5}=0.
Dividindo por \sqrt{5} (que é diferente de zero) vem
C_{1}-C_{2}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=C_{2}.
Usando C_{1}+C_{2}=2 e C_{1}=C_{2} obtemos
2C_{1}=2\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.
Logo C_{2}=1.

Passo 8

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=1 na solução geral, temos
y(x)=e^{\sqrt{5}x}+e^{-\sqrt{5}x}.
Uma forma alternativa, usando a definição da função hiperbólica cosseno \operatorname{cosh} t=\dfrac{e^{t}+e^{-t}}{2}, é
y(x)=2\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{5}\,x\bigr).

Resposta

y(x)=2\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{5}\,x\bigr)

Exercícios relacionados