Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
com
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais. As informações dadas são:
Passo 2
Vamos tentar uma solução da forma
. Esta é uma técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: assumimos
porque derivadas de
são múltiplos de
, o que facilita a substituição. Calculando as derivadas temos:
Substituindo na equação diferencial obtemos uma equação algébrica para
.
Passo 3
Substituindo
em
dá
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Resolvendo,
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Calculamos a derivada
para aplicar a condição inicial sobre
:
Aqui usei a regra de derivação de
:
.
Passo 6
Aplicando
. Substituindo
em
obtemos
Passo 7
Aplicando
. Substituindo
em
obtemos
Dividindo por
(que é diferente de zero) vem
Usando
e
obtemos
Logo
.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, temos
Uma forma alternativa, usando a definição da função hiperbólica cosseno
, é