Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}+2 y=0 com y(0)=1 e y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial com a seguinte equação diferencial e condições iniciais:
y'' + 2y = 0
com
y(0)=1\quad\text{e}\quad y'(0)=2.
A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Vamos procurar soluções da equação diferencial da forma exponencial y(x)=e^{rx}, porque para equações lineares com coeficientes constantes essa é uma técnica padrão e simples de aplicar. Substituindo y=e^{rx} em \;y''+2y=0\; obtemos a equação para r:
r^2 e^{rx} + 2 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica
r^2 + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica \;r^2+2=0\; encontramos:
r^2 = -2 \quad\Rightarrow\quad r = \pm i\sqrt{2}.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas r=0\pm i\sqrt{2} (note que a parte real é zero e a parte imaginária é \sqrt{2}).

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas a\pm i b, a solução geral real da equação diferencial é
y(x)=C_1 e^{ax}\cos(bx) + C_2 e^{ax}\sin(bx),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui a=0 e b=\sqrt{2}, logo a solução geral simplifica para
y(x)=C_1\cos\big(\sqrt{2}\,x\big) + C_2\sin\big(\sqrt{2}\,x\big).
Explicando rapidamente: \cos e \sin aparecem porque e^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos bx + i\sin bx) e a combinação linear das partes real e imaginária fornece soluções reais independentes.

Passo 5

Agora precisamos usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Primeiro calculamos a derivada y'(x). Derivando termo a termo, lembrando que a derivada de \cos(kx) é -k\sin(kx) e a de \sin(kx) é k\cos(kx), temos:
y'(x) = -C_1\sqrt{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,x\big) + C_2\sqrt{2}\,\cos\big(\sqrt{2}\,x\big).
Aqui \sqrt{2} aparece por causa da cadeia ao derivar \cos(\sqrt{2}\,x) e \sin(\sqrt{2}\,x).

Passo 6

Aplicamos a condição y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x)=C_1\cos(\sqrt{2}\,x)+C_2\sin(\sqrt{2}\,x):
y(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Portanto
C_1 = 1.
Em seguida aplicamos y'(0)=2. Substituindo x=0 em y'(x):
y'(0) = -C_1\sqrt{2}\sin(0) + C_2\sqrt{2}\cos(0) = 0 + C_2\sqrt{2}\cdot 1 = C_2\sqrt{2}.
Como y'(0)=2, segue que
C_2\sqrt{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

Passo 7

Substituindo C_1=1 e C_2=\sqrt{2} na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\cos\big(\sqrt{2}\,x\big) + \sqrt{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,x\big).
Se quiser, você pode checar rapidamente: em x=0 y(0)=1 e derivando e avaliando em 0 y'(0)=2, então está tudo consistente.

Resposta

y(x)=\cos\big(\sqrt{2}\,x\big)+\sqrt{2}\,\sin\big(\sqrt{2}\,x\big)

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