Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
com
e
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de valor inicial com a seguinte equação diferencial e condições iniciais:
com
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Vamos procurar soluções da equação diferencial da forma exponencial
, porque para equações lineares com coeficientes constantes essa é uma técnica padrão e simples de aplicar. Substituindo
em
obtemos a equação para
:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 3
Resolvendo a equação característica
encontramos:
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas
(note que a parte real é zero e a parte imaginária é
).
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas
, a solução geral real da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui
e
, logo a solução geral simplifica para
Explicando rapidamente:
e
aparecem porque
e a combinação linear das partes real e imaginária fornece soluções reais independentes.
Passo 5
Agora precisamos usar as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro calculamos a derivada
. Derivando termo a termo, lembrando que a derivada de
é
e a de
é
, temos:
Aqui
aparece por causa da cadeia ao derivar
e
.
Passo 6
Aplicamos a condição
. Substituindo
em
:
Portanto
Em seguida aplicamos
. Substituindo
em
:
Como
, segue que
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Se quiser, você pode checar rapidamente: em
dá
e derivando e avaliando em
dá
, então está tudo consistente.