Considere a função
. Sendo a região de domínio dada por
.
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro da região A do plano delimitadas por
e a reta
, no domínio em questão, em torno do eixo
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro da região A do plano delimitadas por
Passo 1
Então, vamos lá! Temos a função $ f(x) = 2 + x^{2} $ e a reta $ y = x + 1 $, definidas no intervalo de $ 0 \leq x \leq 4 $. Nosso objetivo é determinar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada por essas duas curvas em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as duas curvas se comportam no intervalo dado. Queremos ver qual delas está acima da outra para definir as funções externa e interna no nosso cálculo.
Vamos calcular os valores das duas funções nos extremos do intervalo:
-
Para $ x = 0 $:
- $ f(0) = 2 + 0^{2} = 2 $
- $ y = 0 + 1 = 1 $
-
Para $ x = 4 $:
- $ f(4) = 2 + 4^{2} = 18 $
- $ y = 4 + 1 = 5 $
Vemos que, em todo o intervalo de $ 0 \leq x \leq 4 $, a função $ f(x) $ está acima da reta $ y = x + 1 $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do método dos discos. Quando giramos uma região em torno do eixo $ x $, o volume do sólido pode ser calculado integrando a diferença entre as áreas dos discos maiores e menores formados pelas duas curvas.
A fórmula geral para o volume $ V $ é:
Onde:
- $ f(x) $ é a função externa (mais acima)
- $ g(x) $ é a função interna (mais abaixo)
- $ [a, b] $ é o intervalo de integração
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
- $ f(x) = 2 + x^{2} $ (função externa)
- $ g(x) = x + 1 $ (função interna)
- Intervalo de integração: $ a = 0 $, $ b = 4 $
Então, a fórmula fica:
Passo 5
Vamos expandir as expressões dentro da integral para facilitar o cálculo:
Substituindo na integral:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 4:
Calculando cada termo:
- $ \frac{4^{5}}{5} = \frac{1024}{5} = 204.8 $
- $ 4^{3} = 64 $
- $ 4^{2} = 16 $
- $ 3 \cdot 4 = 12 $
Substituindo:
Passo 9
Portanto, o volume do sólido de revolução é:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 264.8\pi $ unidades cúbicas.