Considere a função f(x)=2+x^2. Sendo a região de domínio dada por 0 <= x <= 4.
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro da região A do plano delimitadas por f(x) e a reta y=x+1, no domínio em questão, em torno do eixo x

Passo 1

Então, vamos lá! Temos a função $ f(x) = 2 + x^{2} $ e a reta $ y = x + 1 $, definidas no intervalo de $ 0 \leq x \leq 4 $. Nosso objetivo é determinar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada por essas duas curvas em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as duas curvas se comportam no intervalo dado. Queremos ver qual delas está acima da outra para definir as funções externa e interna no nosso cálculo.
Vamos calcular os valores das duas funções nos extremos do intervalo:
  • Para $ x = 0 $:
    • $ f(0) = 2 + 0^{2} = 2 $
    • $ y = 0 + 1 = 1 $
  • Para $ x = 4 $:
    • $ f(4) = 2 + 4^{2} = 18 $
    • $ y = 4 + 1 = 5 $
Vemos que, em todo o intervalo de $ 0 \leq x \leq 4 $, a função $ f(x) $ está acima da reta $ y = x + 1 $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do método dos discos. Quando giramos uma região em torno do eixo $ x $, o volume do sólido pode ser calculado integrando a diferença entre as áreas dos discos maiores e menores formados pelas duas curvas.
A fórmula geral para o volume $ V $ é:
x
Onde:
  • $ f(x) $ é a função externa (mais acima)
  • $ g(x) $ é a função interna (mais abaixo)
  • $ [a, b] $ é o intervalo de integração

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • $ f(x) = 2 + x^{2} $ (função externa)
  • $ g(x) = x + 1 $ (função interna)
  • Intervalo de integração: $ a = 0 $, $ b = 4 $
Então, a fórmula fica:
f(x) = 2 + x^2

Passo 5

Vamos expandir as expressões dentro da integral para facilitar o cálculo:
(2 + x^2)^2 = (x^2)^2 + 2 cdot x^2 cdot 2 + 2^2 = x^4 + 4x^2 + 4
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
Substituindo na integral:
V = pi integral0^4 [ x^4 + 4x^2 + 4 - (x^2 + 2x + 1) ] dx

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 - 2x - 1 = x^4 + 3x^2 - 2x + 3
Então, a integral fica:
V = pi integral0^4 ( x^4 + 3x^2 - 2x + 3 ) dx

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral x^4 dx = x^55
integral 3x^2 dx = 3 cdot x^33 = x^3
integral -2x dx = -2 cdot x^22 = -x^2
integral 3 dx = 3x
Então, a antiderivada é:
x^55 + x^3 - x^2 + 3x

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 4:
V = pi [ ( 4^55 + 4^3 - 4^2 + 3 cdot 4 ) - ( 0^55 + 0^3 - 0^2 + 3 cdot 0 ) ]
Calculando cada termo:
  • $ \frac{4^{5}}{5} = \frac{1024}{5} = 204.8 $
  • $ 4^{3} = 64 $
  • $ 4^{2} = 16 $
  • $ 3 \cdot 4 = 12 $
Substituindo:
4^55 = 10245 = 204.8

Passo 9

Portanto, o volume do sólido de revolução é:
V = 264.8pi , unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 264.8\pi $ unidades cúbicas.

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