Resolva os seguintes problemas de valor inicial
, sabendo que
é uma solução.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e informa que
é uma solução particular. Essa é uma equação de Riccati, pois aparece termo em
. Para resolver, vamos usar a transformação clássica de Riccati, que reduz a um problema linear sabendo uma solução particular.
Passo 2
Fazemos a substituição
Diferenciando,
Por outro lado, escrevendo o lado direito da Riccati como
com
e usando que
satisfaz
, obtemos após cancelar termos iguais:
Multiplicando por
e reorganizando, chega-se à equação linear
Como
, temos
Passo 3
Para resolver
o fator integrante é
Multiplicando a EDO por
,
Integrando,
logo
Passo 4
Impondo a condição inicial
, temos
e
, de modo que
Assim
Passo 5
Voltando a
, substituímos
: