Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^{\prime}(x)=\frac{2 \cos ^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)+y^{2}}{2 \cos (x)}, y(0)=1, sabendo que y(x)=\operatorname{sen}(x) é uma solução.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(x)=\frac{2\cos^2(x)-\sin^2(x)+y^2}{2\cos(x)},\quad y(0)=1
e informa que y_p(x)=\sin(x) é uma solução particular. Essa é uma equação de Riccati, pois aparece termo em y^2. Para resolver, vamos usar a transformação clássica de Riccati, que reduz a um problema linear sabendo uma solução particular.

Passo 2

Fazemos a substituição
y(x)=y_p(x)+\frac1{u(x)}=\sin(x)+\frac1{u(x)}.
Diferenciando,
y'=\cos(x)-\frac{u'}{u^2}.
Por outro lado, escrevendo o lado direito da Riccati como q_0(x)+q_2(x)y^2 com
q_0(x)=\frac{2\cos^2(x)-\sin^2(x)}{2\cos(x)},\quad q_2(x)=\frac1{2\cos(x)},
e usando que \sin(x) satisfaz y_p'=q_0+q_2y_p^2, obtemos após cancelar termos iguais:
-\frac{u'}{u^2} =q_2\Bigl(2y_p\frac1u+\frac1{u^2}\Bigr).
Multiplicando por u^2 e reorganizando, chega-se à equação linear
u'(x)+2\,q_2(x)\,y_p(x)\,u(x)=-q_2(x).
Como 2q_2y_p=2\cdot\frac1{2\cos x}\sin x=\tan x, temos
u'(x)+\tan(x)\,u(x)=-\frac1{2\cos(x)}.

Passo 3

Para resolver
u'+\tan(x)\,u=-\tfrac1{2\cos(x)},
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\tan(x)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(-\ln\cos(x)\bigr)=\frac1{\cos(x)}.
Multiplicando a EDO por \mu,
\bigl(u\mu\bigr)'=-\frac1{2\cos^2(x)}=-\tfrac12\operatorname{sec}^2(x).
Integrando,
u(x)\,\frac1{\cos(x)} =-\tfrac12\int\operatorname{sec}^2(x)\,dx =-\tfrac12\tan(x)+C,
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u(x)=\cos(x)\Bigl(-\tfrac12\tan(x)+C\Bigr) =-\tfrac12\sin(x)+C\cos(x).

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=1, temos \sin(0)=0 e \cos(0)=1, de modo que
1=y(0)=\sin(0)+\frac1{u(0)} =0+\frac1{C\cdot1-0} \;\Longrightarrow\;C=1.
Assim
u(x)=-\tfrac12\sin(x)+\cos(x).

Passo 5

Voltando a y=\sin(x)+1/u, substituímos u(x):
y(x) =\sin(x)+\frac1{-\tfrac12\sin(x)+\cos(x)} =\sin(x)+\frac{2}{2\cos(x)-\sin(x)}.

Resposta

\boxed{y(x)=\sin(x)+\frac{2}{2\cos(x)-\sin(x)}.}

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