Resolva os seguintes problemas de valor inicial
2 x y y^{\prime}(x)+(1+x) y^{2}=e^{x}, y(1)=\sqrt{e}.

Passo 1

O enunciado dá o valor inicial y(1)=\sqrt{e} para a equação diferencial de primeira ordem
2x\,y\,y'(x)+(1+x)y^2=e^x.
O conteúdo aqui é notar que, definindo
z(x)=y^2(x),
temos z'=2y\,y', o que transforma a equação num problema linear em z.

Passo 2

Substituindo z=y^2 e z'=2y\,y' na equação original, obtemos
2x\,y\,y' + (1+x)y^2 = x\,z' + (1+x)z = e^x.
Assim chegamos à equação linear
x\,z'(x)+(1+x)\,z(x)=e^x.

Passo 3

Dividindo por x, fica
z' + \frac{1+x}{x}\,z = \frac{e^x}{x}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\!\int\!(\tfrac1x+1)\,dx\Bigr) =\exp(\ln x + x)=x\,e^x.
Multiplicando tudo por x\,e^x e reconhecendo a derivada de \,x\,e^x\,z, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^x\,z\bigr)=e^{2x}.
Integrando,
x\,e^x\,z=\int e^{2x}\,dx=\tfrac12e^{2x}+C.
Logo
z(x)=\frac{\tfrac12e^{2x}+C}{x\,e^x} =\frac{1}{2x}e^x+\frac{C}{x\,e^x}.

Passo 4

Usando a condição y(1)=\sqrt{e} implica z(1)=e. Logo
e=z(1)=\frac12e+\frac{C}{e} \;\Longrightarrow\;\frac{C}{e}=\frac{e}{2} \;\Longrightarrow\;C=\frac{e^2}{2}.
Substituindo em z(x):
z(x)=\frac{1}{2x}e^x+\frac{\tfrac{e^2}{2}}{x\,e^x} =\frac{1}{2x}\bigl(e^x+e^{2-x}\bigr).

Passo 5

Como z=y^2 e no ponto inicial y>0, tiramos a raiz positiva:
y(x)=\sqrt{z(x)} =\sqrt{\frac{e^x+e^{2-x}}{2x}}.

Resposta

y(x)=\sqrt{\frac{e^x+e^{2-x}}{2x}}.

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