Resolva os seguintes problemas de valor inicial
, sabendo que
é uma solução.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e informa que
é uma solução particular. O conteúdo da matéria é equações diferenciais de primeira ordem do tipo de Bernoulli ou Riccati que admitem redução de ordem quando conhecemos uma solução. Vamos usar a substituição
para simplificar a equação.
Passo 2
Fazendo
obtemos
Substituindo em
vem
logo
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão de Bernoulli:
Trata-se de uma equação de Bernoulli com expoente
.
Passo 4
Na equação de Bernoulli aplicamos a troca
Então
e, usando
, obtemos
Reorganizando, temos a equação linear em
:
Passo 5
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando por
:
Integrando,
Passo 6
Voltando a
,
Finalmente
Passo 7
Usamos a condição inicial
:
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