Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^{\prime}(x)=x^{3}(y-x)^{2}+\frac{y}{x}, y(1)=0, sabendo que y(x)=x é uma solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'(x)=x^{3}\bigl(y(x)-x\bigr)^{2}+\frac{y(x)}{x},\qquad y(1)=0,
e informa que y(x)=x é uma solução particular. O conteúdo da matéria é equações diferenciais de primeira ordem do tipo de Bernoulli ou Riccati que admitem redução de ordem quando conhecemos uma solução. Vamos usar a substituição
u(x)=y(x)-x
para simplificar a equação.

Passo 2

Fazendo y(x)=x+u(x) obtemos
y'(x)=1+u'(x).
Substituindo em
y'=x^{3}(y-x)^{2}+\frac{y}{x}
vem
1+u'=x^{3}u^{2}+\frac{x+u}{x}=x^{3}u^{2}+\frac{u}{x}+1,
logo
u'(x)=x^{3}u^{2}+\frac{u}{x}.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de Bernoulli:
u'-\frac{1}{x}\,u = x^{3}u^{2}.
Trata-se de uma equação de Bernoulli com expoente n=2.

Passo 4

Na equação de Bernoulli aplicamos a troca
v(x)=\frac{1}{u(x)}.
Então
v'=-\frac{u'}{u^{2}}
e, usando u'=x^{3}u^{2}+\tfrac{u}{x}, obtemos
v'=-\bigl(x^{3}+\tfrac{1}{x\,u}\bigr)=-x^{3}-\frac{v}{x}.
Reorganizando, temos a equação linear em v:
v'+\frac{1}{x}v=-x^{3}.

Passo 5

Para resolver
v'+\frac{1}{x}v=-x^{3}
usamos fator integrante \mu(x)=e^{\int\!1/x\,dx}=x. Multiplicando por x:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,v\bigr)=-x^{4}.
Integrando,
x\,v=-\frac{x^{5}}{5}+C \quad\Longrightarrow\quad v(x)=-\frac{x^{4}}{5}+\frac{C}{x}.

Passo 6

Voltando a u=1/v,
u(x)=\frac{1}{-\tfrac{x^{4}}{5}+\tfrac{C}{x}} =\frac{5x}{5C - x^{5}}.
Finalmente
y(x)=x+u(x) =x+\frac{5x}{5C - x^{5}} =x\Bigl(1+\frac{5}{5C - x^{5}}\Bigr).

Passo 7

Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = 1\Bigl(1+\frac{5}{5C-1}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad 1+\frac{5}{5C-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad 5C-1=-5 \quad\Longrightarrow\quad C=-\frac{4}{5}.
Logo
5C=-4 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=x\Bigl(1+\frac{5}{-4 - x^{5}}\Bigr) =x-\frac{5x}{x^{5}+4}.

Resposta

\boxed{y(x)=x-\frac{5x}{x^{5}+4}}.

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