Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime-y^prime-2 y=e^3 x, y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - y' - 2y = e^3x, y(0)=1, y'(0)=2
O método envolve achar a solução geral da equação linear com coeficientes constantes, que é dada pela soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação
y'' - y' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0
cuja solução é r=2 ou r=-1. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp ao lado direito e^3x, usamos o palpite
yp(x) = A e^3x
Então
yp' = 3A e^3x, yp'' = 9A e^3x,
e substituindo em y'' - y' - 2y = e^3x
(9A - 3A - 2A)e^3x = e^3x Longrightarrow 4A = 1 Longrightarrow A = tfrac14
Portanto
yp(x) = tfrac14e^3x

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + tfrac14e^3x
Calculamos também a derivada:
y'(x) = 2C1 e^2x - C2 e^-x + tfrac34e^3x

Passo 5

Impondo as condições iniciais em x=0:
  1. De y(0)=1 vem
C1 + C2 + tfrac14 = 1 Longrightarrow C1 + C2 = tfrac34
  1. De y'(0)=2 vem
2C1 - C2 + tfrac34 = 2 Longrightarrow 2C1 - C2 = tfrac54
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac34, 2C1 - C2 = tfrac54,
obtemos
C1 = tfrac23, C2 = tfrac112

Resposta

y(x) = 23e^2x + 112e^-x + 14e^3x

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