Suponha que a reta 2 x+3 y=5 seja tangente ao gráfico de y=f(x) em x=1. O valor de f(1) é e o valor de f^prime(1) é .

Passo 1

O enunciado diz que a reta
2x + 3y = 5
é tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto onde x = 1.
Quando uma reta é tangente a um gráfico em x=1, vale que
  1. o ponto l(1,f(1)r) pertence à reta, e
  2. o coeficiente angular da reta é igual a f'(1).

Passo 2

Vamos escrever a reta na forma y = mx + b. Da equação
2x + 3y = 5
isolamos y:
3y = 5 - 2x Longrightarrow y = 5 - 2x3 = -23x + 53
Logo, o coeficiente angular é
m = -23

Passo 3

Para encontrar f(1), basta usar que l(1,f(1)r) está na reta. Substituindo x=1 em
y = -23x + 53,
temos
y = -23cdot1 + 53 = -23 + 53 = 33 = 1
Portanto,
f(1) = 1

Passo 4

Como a reta tangente tem coeficiente angular igual a f'(1), concluímos
f'(1) = -23

Resposta

f(1) = 1
f'(1) = -tfrac23

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