Resolva os seguintes problemas de valores iniciais e contorno:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}+17 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 11\,y' + 17\,y = 0
sujeita a \,y(0)=1 e \,y'(0)=0.
Conteúdo: método da equação característica, solução geral e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica
r^2 + 11r + 17 = 0
e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4\cdot1\cdot17}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 68}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{53}}{2}.
Chamamos
r_1 = \frac{-11 + \sqrt{53}}{2}, \quad r_2 = \frac{-11 - \sqrt{53}}{2}.

Passo 3

Como r_1 e r_2 são reais e distintos, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Derivando, temos
y'(x) = C_1\,r_1 e^{r_1 x} + C_2\,r_2 e^{r_2 x}.

Passo 4

Impondo as condições iniciais em x=0:
y(0)=C_1 + C_2 = 1, \qquad y'(0)=C_1 r_1 + C_2 r_2 = 0.
Resolvendo esse sistema para C_1 e C_2, obtemos
C_1 = \frac{11 + \sqrt{53}}{2\sqrt{53}}, \qquad C_2 = \frac{\sqrt{53} - 11}{2\sqrt{53}}.

Passo 5

Substituindo esses valores de C_1 e C_2 na expressão geral de y(x), chegamos à solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x) = \frac{11+\sqrt{53}}{2\sqrt{53}}\;e^{\tfrac{-11+\sqrt{53}}{2}\,x} + \frac{\sqrt{53}-11}{2\sqrt{53}}\;e^{\tfrac{-11-\sqrt{53}}{2}\,x}.

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