Resolva os seguintes problemas de valores iniciais e contorno:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(0)=2 \\\ y^{\prime}(0)=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, dado por
\begin{cases} y'' + 10\,y' + 4\,y = 0,\\\ y(0) = 2,\\\ y'(0) = 4. \end{cases}
Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 10\,r + 4 = 0.
As raízes são
r = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4\cdot1\cdot4}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{84}}{2} = -5 \pm \sqrt{21}.

Passo 3

Como as raízes r_1=-5+\sqrt{21} e r_2=-5-\sqrt{21} são distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1\,e^{(-5+\sqrt{21})x} + C_2\,e^{(-5-\sqrt{21})x}.

Passo 4

Calculamos y'(x) e aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Temos
y'(x) = C_1(-5+\sqrt{21})\,e^{(-5+\sqrt{21})x} + C_2(-5-\sqrt{21})\,e^{(-5-\sqrt{21})x}.
Em x=0,
\begin{cases} y(0): & C_1 + C_2 = 2,\\\ y'(0): & C_1(-5+\sqrt{21}) + C_2(-5-\sqrt{21}) = 4. \end{cases}
Resolvendo este sistema, obtemos
C_1 = \frac{3+\sqrt{21}}{3}, \quad C_2 = \frac{3-\sqrt{21}}{3}.

Resposta

y(x) = \frac{3+\sqrt{21}}{3}\,e^{(-5+\sqrt{21})x} + \frac{3-\sqrt{21}}{3}\,e^{(-5-\sqrt{21})x}.

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