Resolva os seguintes problemas de valores iniciais e contorno:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0 \\\ y(0)=2 \\\ y^{\prime}(0)=-3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 6y' + 9y = 0,\quad y(0)=2,\;y'(0)=-3.
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO, trocando y por e^{rt}:
r^2 - 6r + 9 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot9 = 36 - 36 = 0,
logo há raiz dupla.

Passo 3

Como a raiz é dupla e igual a
r = \frac{6}{2} = 3,
a solução geral da EDO é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{3t},
com C_1 e C_2 constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada para impor y'(0)=-3:
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(C_1 + C_2 t\bigr)e^{3t} = \bigl(C_2 + 3(C_1 + C_2 t)\bigr)e^{3t} = \bigl(3C_1 + C_2 + 3C_2 t\bigr)e^{3t}.
Agora aplicamos as condições iniciais:
y(0) = C_1 e^{0} = C_1 = 2,
y'(0) = \bigl(3C_1 + C_2\bigr)e^{0} = 3\cdot2 + C_2 = 6 + C_2 = -3 \;\Longrightarrow\;C_2 = -9.

Passo 5

Substituindo C_1=2 e C_2=-9 na solução geral, obtemos
y(t) = \bigl(2 - 9t\bigr)e^{3t}.

Resposta

y(t) = \bigl(2 - 9t\bigr)e^{3t}.

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