Resolva os seguintes PVI usando a transformada de Laplace:
, onde
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com as condições iniciais
Ou seja: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial de segunda ordem homogênea acima e as duas condições no instante
. O enunciado exige o uso da transformada de Laplace.
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender) as fórmulas que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
é definida por
Propriedades importantes (que surgem ao aplicar a transformada a derivadas) são:
Aqui
é a transformada de
;
é a variável da transformada. Essas fórmulas permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
. Vou aplicá-las passo a passo.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial inteira, e usando as fórmulas de derivadas, obtemos:
Substituindo as expressões:
Agora substituo as condições iniciais
e
:
Passo 4
Faço as contas e organizo os termos em
e os termos numéricos:
Agrupando
:
Calculo
. Então
Isolando
:
Passo 5
Para inverter a transformada, é útil completar o quadrado no denominador. Faço:
Logo
Passo 6
Quero relacionar o numerador com
, que aparece no padrão das transformadas de
e
. Escrevo
pois
. Assim
Passo 7
Agora uso pares clássicos de transformadas (aqui ensino o que cada par significa):
- Para
e ,
Compare com nossos termos: temos
e precisamos de
tal que
, ou seja
O primeiro termo
é exatamente
.
O segundo termo tem numerador
; como o padrão para o seno tem numerador
, escrevo a constante multiplicativa:
Calculo a constante:
Portanto o segundo termo é
vezes o padrão do seno, isto é
Passo 8
Aplicando a transformada inversa a cada termo, obtenho a solução
:
Posso fatorar
se quiser:
Para ficar tranquilo, verifico rapidamente as condições iniciais: em
tem-se
(porque
e
), e a derivada avaliada em
dá
(uma verificação breve de derivadas confirma; a solução atende às condições iniciais).