Resolva os seguintes PVI usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+4 y=0, onde y(0)=1 e y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 3y' + 4y = 0,
com as condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=5.
Ou seja: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial de segunda ordem homogênea acima e as duas condições no instante t=0. O enunciado exige o uso da transformada de Laplace.

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) as fórmulas que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função y(t) é definida por
\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Propriedades importantes (que surgem ao aplicar a transformada a derivadas) são:
\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0).
Aqui Y(s) é a transformada de y(t); s é a variável da transformada. Essas fórmulas permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s). Vou aplicá-las passo a passo.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial inteira, e usando as fórmulas de derivadas, obtemos:
\mathcal{L}\{y''\} - 3\mathcal{L}\{y'\} + 4\mathcal{L}\{y\} = 0.
Substituindo as expressões:
\bigl(s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0)\bigr) - 3\bigl(sY(s) - y(0)\bigr) + 4Y(s) = 0.
Agora substituo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=5:
\bigl(s^{2}Y(s) - s\cdot 1 - 5\bigr) - 3\bigl(sY(s) - 1\bigr) + 4Y(s) = 0.

Passo 4

Faço as contas e organizo os termos em Y(s) e os termos numéricos:
s^{2}Y(s) - s - 5 - 3sY(s) + 3 + 4Y(s) = 0.
Agrupando Y(s):
\bigl(s^{2} - 3s + 4\bigr)Y(s) + (-s -5 +3) = 0.
Calculo -s -5 +3 = -s -2. Então
\bigl(s^{2} - 3s + 4\bigr)Y(s) - s - 2 = 0.
Isolando Y(s):
Y(s) = \frac{s+2}{s^{2} - 3s + 4}.

Passo 5

Para inverter a transformada, é útil completar o quadrado no denominador. Faço:
s^{2} - 3s + 4 = \left(s - \tfrac{3}{2}\right)^{2} + \left(4 - \tfrac{9}{4}\right) = \left(s - \tfrac{3}{2}\right)^{2} + \tfrac{7}{4}.
Logo
Y(s) = \frac{s+2}{\left(s - \tfrac{3}{2}\right)^{2} + \tfrac{7}{4}}.

Passo 6

Quero relacionar o numerador com \left(s-\tfrac{3}{2}\right), que aparece no padrão das transformadas de e^{at}\cos(bt) e e^{at}\sin(bt). Escrevo
s+2 = \left(s - \tfrac{3}{2}\right) + \tfrac{7}{2},
pois \left(s - \tfrac{3}{2}\right) + \tfrac{7}{2} = s+2. Assim
Y(s) = \frac{s - \tfrac{3}{2}}{\left(s - \tfrac{3}{2}\right)^{2} + \tfrac{7}{4}} \;+\; \frac{\tfrac{7}{2}}{\left(s - \tfrac{3}{2}\right)^{2} + \tfrac{7}{4}}.

Passo 7

Agora uso pares clássicos de transformadas (aqui ensino o que cada par significa):
  • Para a e b>0,
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\} = \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\} = \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Compare com nossos termos: temos a=\tfrac{3}{2} e precisamos de b tal que b^{2}=\tfrac{7}{4}, ou seja
b = \frac{\sqrt{7}}{2}.
O primeiro termo
\frac{s - \tfrac{3}{2}}{\left(s - \tfrac{3}{2}\right)^{2} + \left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2}}
é exatamente \mathcal{L}\{e^{\tfrac{3}{2}t}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)\}.
O segundo termo tem numerador \tfrac{7}{2}; como o padrão para o seno tem numerador b=\tfrac{\sqrt{7}}{2}, escrevo a constante multiplicativa:
\frac{\tfrac{7}{2}}{\left(s - \tfrac{3}{2}\right)^{2} + \left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2}} = \frac{\tfrac{7}{2}}{\tfrac{\sqrt{7}}{2}}\cdot \frac{\tfrac{\sqrt{7}}{2}}{\left(s - \tfrac{3}{2}\right)^{2} + \left(\tfrac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2}}.
Calculo a constante:
\frac{\tfrac{7}{2}}{\tfrac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}.
Portanto o segundo termo é \sqrt{7} vezes o padrão do seno, isto é
\sqrt{7}\,\mathcal{L}\{e^{\tfrac{3}{2}t}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)\}.

Passo 8

Aplicando a transformada inversa a cada termo, obtenho a solução y(t):
y(t) = e^{\tfrac{3}{2}t}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\Bigr) \;+\; \sqrt{7}\,e^{\tfrac{3}{2}t}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\Bigr).
Posso fatorar e^{\tfrac{3}{2}t} se quiser:
y(t) = e^{\tfrac{3}{2}t}\Biggl(\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\Bigr) + \sqrt{7}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\Bigr)\Biggr).
Para ficar tranquilo, verifico rapidamente as condições iniciais: em t=0 tem-se y(0)=1 (porque \cos 0 = 1 e \sin 0 = 0), e a derivada avaliada em 0 y'(0)=5 (uma verificação breve de derivadas confirma; a solução atende às condições iniciais).

Resposta

y(t)=e^{\tfrac{3}{2}t}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)+\sqrt{7}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)\Bigr)

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