Resolva os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}t y^{\prime}+2 y=t^{3}, t>0 \\\ y(1)=0\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
t\,y'(t)+2\,y(t)=t^{3},\quad t>0,\quad y(1)=0.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro reescrevemos em forma padrão dividindo por t:
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=t^{2}.
O coeficiente de y é p(t)=2/t, de onde o fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int\frac{2}{t}\,dt\Bigr)=\exp(2\ln t)=t^{2}.

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=t^{2} obtemos
t^{2}y'(t)+2t\,y(t)=t^{4},
que equivale a
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y(t)\bigr)=t^{4}.
Integrando ambos os lados:
t^{2}y(t)=\int t^{4}\,dt=\frac{t^{5}}{5}+C,
logo a solução geral é
y(t)=\frac{t^{5}}{5t^{2}}+\frac{C}{t^{2}} =\frac{t^{3}}{5}+C\,t^{-2}.

Passo 4

Impondo a condição inicial y(1)=0, temos
0=\frac{1^{3}}{5}+C\cdot1^{-2} \;\Longrightarrow\; C=-\frac{1}{5}.
Substituindo em y(t), resulta
y(t)=\frac{t^{3}}{5}-\frac{1}{5}\,t^{-2}.

Resposta

y(t)=\frac{t^{3}-t^{-2}}{5}.

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