Resolva os seguintes PVI’s:
\begin{cases}x y^{\prime}=y+x^{2} \sin x & \text { Resp: } y=-x \cos x-x \\\ y(\pi)=0 & \end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\begin{cases} x\,y' = y + x^{2}\sin x,\\\ y(\pi)=0 \end{cases}
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrevê-la na forma padrão y'+P(x)y=Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (supondo x\neq0), obtemos a forma padrão
y' - \frac{1}{x}\,y = x\sin x.

Passo 3

Identificamos P(x)=-\tfrac{1}{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(-\int\frac{1}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(-\ln|x|\bigr) =\frac{1}{x}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x)=\tfrac{1}{x}, fica
\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y = \sin x.
O lado esquerdo é a derivada de \tfrac{y}{x}, pois
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) =\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x,
\frac{y}{x} = \int \sin x\,dx = -\cos x + C.

Passo 6

Isolando y,
y = x\bigl(-\cos x + C\bigr) = -x\cos x + Cx.

Passo 7

Usando a condição inicial y(\pi)=0,
0 = -\pi\cos\pi + C\pi = -\pi(-1) + C\pi = \pi + C\pi \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Substituindo em y, obtemos
y = -x\cos x - x.

Resposta

y = -x\cos x - x.

Exercícios relacionados