Resolva os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}2 x y^{\prime}+y=6 x, x>0 \\\ y(4)=20\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
2x\,y' + y = 6x,\quad x>0,\quad y(4)=20.
O conteúdo é EDO linear de primeira ordem; vamos reescrever na forma padrão y' + p(x)y = q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Para pôr em forma padrão, dividimos toda a equação por 2x:
y' + \frac{1}{2x}\,y = 3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{1}{2x}\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\frac12\ln x\Bigr) = x^{1/2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x)=x^{1/2}, obtendo
x^{1/2}y' + \frac{1}{2}x^{-1/2}y = 3x^{1/2},
que reconhecemos como derivada do produto:
\bigl(x^{1/2}y\bigr)' = 3x^{1/2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
x^{1/2}y = \int 3x^{1/2}\,dx = 3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} + C = 2x^{3/2} + C.

Passo 6

Isolamos y:
y = 2x + C\,x^{-1/2}.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(4)=20:
20 = y(4) = 2\cdot4 + C\cdot4^{-1/2} = 8 + \frac{C}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{C}{2}=12 \quad\Longrightarrow\quad C=24.

Resposta

y(x) = 2x + 24\,x^{-1/2}.

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