Resolva os seguintes PVI’s.
X^prime=(lll1 & 1 & 4 0 & 2 & 0 1 & 1 & 1) X, com X(0)=(l1 3 0)

Passo 1

O enunciado é um sistema linear autonômo de Cauchy
X' = A,X, A = 1 & 1 & 4[6pt]0 & 2 & 0[3pt]1 & 1 & 1, X(0)=130
O conteúdo é resolução de sistemas lineares pela diagonalização de A: primeiro achamos autovalores e autovetores, depois escrevemos a solução geral e impondo X(0) determinamos as constantes.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det1-lambda & 1 & 4[3pt]0 & 2-lambda & 0[3pt]1 & 1 & 1-lambda =(2-lambda)l((1-lambda)^2-4r)
Logo as raízes são
lambda1=2,lambda2=1+2=3,lambda3=1-2=-1
]

Passo 3

Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I)v=0:
1. lambda1=2:
(A-2I)v=0 dá o sistema
-v1+v2+4v3=0, v1+v2-v3=0,
que leva a v1=tfrac52v3,;v2=-tfrac32v3. Tomando v3=2 achamos
v^(1)=5-32
2. lambda2=3:
(A-3I)v=0
-2v1+v2+4v3=0, -v2=0, v1+v2-2v3=0,
logo v2=0,;v1=2v3. Tomando v3=1 vem
v^(2)=201
3. lambda3=-1:
(A+I)v=0
2v1+v2+4v3=0, 3v2=0, v1+v2+2v3=0,
logo v2=0,;v1=-2v3. Tomando v3=1 vem
v^(3)=-201

Passo 4

A solução geral é combinação linear dos modos: X(t)=c1e^2tv^(1)+c2e^3tv^(2)+c3e^-tv^(3)

Passo 5

Impondo
Isso gera o sistema
Da segunda equação (c_1=-1]. Substituindo nas outras vem

Passo 6

Substituindo c1,c2,c3 em X(t) obtemos, coordenada a coordenada:
x1(t)=-5e^2t+5e^3t+e^-t, x2(t)=3e^2t, x3(t)=-2e^2t+tfrac52e^3t-tfrac12e^-t

Resposta

X(t)= -5e^2t+5e^3t+e^-t[6pt] 3e^2t[3pt] -2e^2t+tfrac52e^3t-tfrac12e^-t ]

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