Resolva os seguintes PVI’s.
X^prime=(cc12 & 0 1 & -12) X, com X(0)=binom35

Passo 1

O enunciado dá o PVI
X' = A,X
com
A = tfrac12 & 0 [6pt] 1 & -tfrac12, X(0)=35
Esse é um sistema linear de EDOs com coeficientes constantes. Note que a primeira componente x1 aparece isolada na primeira equação, então vamos resolver primeiro para x1(t) e depois usar esse resultado na segunda equação para obter x2(t).]

Passo 2

Da primeira linha de X'=AX temos
x1' = tfrac12,x1,
que é uma EDO homogênea de primeira ordem. A solução geral é
x1(t) = C,e^t/2
Como x1(0)=3, segue C=3. Logo
x1(t) = 3,e^t/2

Passo 3

A segunda linha fornece
x2' = x1 - tfrac12,x2
Substituindo x1(t)=3e^t/2 obtemos a EDO linear
x2' + tfrac12,x2 = 3e^t/2
Usamos fator integrante mu(t)=e^t/2 para reescrever
ddtl(x2,e^t/2r) =3e^t/2,e^t/2 =3e^t
Integrando em t:
x2,e^t/2 = integral 3e^t,dt = 3e^t + K,
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x2(t) = 3e^t/2 + K,e^-t/2

Passo 4

Para a condição inicial x2(0)=5 vale
5 = 3 + K Longrightarrow K=2
Portanto
x2(t) = 3e^t/2 + 2e^-t/2

Resposta

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