Resolva os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’’ + 6y’ + 9y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = -1 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as raízes da equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo $ y $ por $ e^{rt} $, o que dá:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 6r + 9 = 0 $:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 6 $, e $ c = 9 $:
Então, temos uma raiz dupla $ r = -3 $.
Passo 4
Com uma raiz dupla $ r = -3 $, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a primeira condição inicial $ y(0) = 2 $:
Então, $ C_1 = 2 $.
Passo 6
Agora, vamos derivar $ y(t) $ para usar a segunda condição $ y’(0) = -1 $:
Derivando:
Avaliando em $ t = 0 $:
Resposta
A solução do PVI é: