Resolva os seguintes PVIs:
y^prime prime+6 y^prime+9 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’’ + 6y’ + 9y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = -1 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as raízes da equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo $ y $ por $ e^{rt} $, o que dá:
y

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 6r + 9 = 0 $:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 6r + 9 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 6 $, e $ c = 9 $:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos uma raiz dupla $ r = -3 $.

Passo 4

Com uma raiz dupla $ r = -3 $, a solução geral da equação diferencial é:
r = -3
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a primeira condição inicial $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2
Então, $ C_1 = 2 $.

Passo 6

Agora, vamos derivar $ y(t) $ para usar a segunda condição $ y’(0) = -1 $:
y(t)
Derivando:
y'(0) = -1
y(t) = (2 + C2 t) e^-3t
Avaliando em $ t = 0 $:
y'(t) = C2 e^-3t + (2 + C2 t)(-3) e^-3t
y'(t) = C2 e^-3t - 6 e^-3t - 3 C2 t e^-3t

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = (2 + 5t) e^-3t

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