Resolva as seguintes questões sobre:
Uma casca esférica não condutora, com um raio interno de 2,0 \mathrm{~cm} e um raio externo de 5,0 \mathrm{~cm} possui uma distribuição de cargas não homogênea. A densidade volumétrica de carga \rho é a carga por unidade de medida em coulombs por metro cúbico. No caso dessa casca, \rho=b / r^{2}, onde r é a distância em metros ao centro da casca e b=3,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}. Calcule a carga total da casca.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica não condutora com raio interno r_{\text{i}}=2{,}0\text{ cm}=0,02\text{ m} e raio externo r_{\text{o}}=5{,}0\text{ cm}=0,05\text{ m}. A densidade volumétrica de carga varia com a distância ao centro segundo
\rho(r)=\frac{b}{r^{2}},
onde b=3{,}0\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}=3{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Queremos calcular a carga total
Q=\int_{\text{volume}}\rho\,dV.

Passo 2

Num sistema esférico, um elemento de volume é
dV=4\pi r^{2}\,dr.
Logo a carga total é
Q=\int_{r_{\text{i}}}^{r_{\text{o}}}\rho(r)\,dV =\int_{0,02}^{0,05}\frac{b}{r^{2}}\;4\pi r^{2}\,dr.

Passo 3

No integrando, \frac{b}{r^{2}}\cdot r^{2}=b. Portanto
Q=4\pi b\int_{0,02}^{0,05}dr =4\pi b\bigl[r\bigr]_{0,02}^{0,05} =4\pi b\,(0,05-0,02).

Passo 4

Substituindo b=3{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m} e 0,05-0,02=0,03\text{ m}, temos
Q=4\pi\,(3{,}0\times10^{-6})\,(0,03) =4\pi\,(9{,}0\times10^{-8}) =3{,}6\times10^{-7}\,\pi\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Convertendo em valor numérico,
Q\approx3{,}6\times10^{-7}\times3{,}1416\approx1{,}13\times10^{-6}\,\mathrm{C}.

Resposta

A carga total da casca é aproximadamente
Q\approx1{,}13\times10^{-6}\,\mathrm{C}\quad(1{,}13\\ \mu\mathrm{C}).

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