1. x^2 y^prime prime+(y^prime)^2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem não– linear
x^2y'' + (y')^2 = 0
O que vamos precisar é reduzir a ordem, usando a substituição p = y', para obter uma equação de primeira ordem em p(x).

Passo 2

Com p=y' temos y'' = dpdx. Substituindo na equação original:
x^2dpdx + p^2 = 0
que é uma equação de primeira ordem em p. Vamos separá– la:
x^2dpdx = -p^2 Longrightarrow dpp^2 = -dxx^2

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral dpp^2 = integral -dxx^2 Longrightarrow -,1p = 1x + C1,
onde C1 é constante de integração. Isolando p:
-,1p = 1x + C1 Longrightarrow p = y' = -11x + C1 = -x1 + C1x

Passo 4

Agora integramos y' = -x1 + C1x. Observe que
-x1 + C1x = -1C1cdotC1x1 + C1x = -1C1l(1 - 11 + C1xr) = -1C1 + 1C1(1 + C1x)
Logo,
y = integral y',dx = integrall(-1C1 + 1C1(1 + C1x)r)dx = -xC1 + 1C1^2lnl|1 + C1xr| + C2,
onde C2 é outra constante de integração.

Resposta

boxedy(x) = -xC1 + 1C1^2lnl|1 + C1xr| + C2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados