Verifique se as séries convergem ou divergem. Para as séries convergentes determine sua soma.
R:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergente, calcular sua soma. Vamos usar o método de frações parciais para obter uma forma telescópica da série.
Passo 2
Decompondo
temos
Dessas equações segue
A=tfrac12 e
B=-tfrac12 . Logo
Passo 3
Defina a soma parcial
Ao escrever os primeiros termos, nota-se que muitos termos se cancelam em cadeia (telescopagem), ficando
Passo 4
Fazendo
Ntoinfty , os termos
tfrac1N+3 e
tfrac1N+4 tendem a zero, de modo que
Portanto a série converge e sua soma é
tfrac724 .
Resposta
A série converge e