Verifique se as séries convergem ou divergem. Para as séries convergentes determine sua soma.
sumn=1^infty(1(n+2)(n+4)) R: 512

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1(n+2)(n+4)
e, se convergente, calcular sua soma. Vamos usar o método de frações parciais para obter uma forma telescópica da série.

Passo 2

Decompondo
1(n+2)(n+4)=An+2+Bn+4,
temos
A(n+4)+B(n+2)=1Longrightarrow A+B=0, 4A+2B=1
Dessas equações segue A=tfrac12 e B=-tfrac12. Logo
1(n+2)(n+4) =12l(1n+2-1n+4r)

Passo 3

Defina a soma parcial
SN=sumn=1^N1(n+2)(n+4) =12sumn=1^Nl(1n+2-1n+4r)
Ao escrever os primeiros termos, nota-se que muitos termos se cancelam em cadeia (telescopagem), ficando
SN =12l(13+14-1N+3-1N+4r)

Passo 4

Fazendo Ntoinfty, os termos tfrac1N+3 e tfrac1N+4 tendem a zero, de modo que
sumn=1^infty1(n+2)(n+4) =limNtoinftySN =12l(13+14r) =12cdot712 =724
Portanto a série converge e sua soma é tfrac724.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1(n+2)(n+4)=724

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