Resolva os seguintes sistema de equações lineares pelo Método de Gauss sem e com pivoteamento parcial
cy+z=4 x-4 y-z=1 -2 x+9 y+2 z=2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
y + z = 4, x - 4y - z = 1, -2x + 9y + 2z = 2,
e pede para resolver pelo Método de Gauss sem e com pivoteamento parcial. Vamos primeiro montar a matriz aumentada e tentar o escalonamento direto; depois, mostrar como o pivoteamento parcial resolve o problema do zero no pivô.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada na ordem :

Passo 3

Gauss sem pivoteamento parcial.
O primeiro pivô seria a11=0. Para eliminar abaixo desse pivô teríamos que dividir por zero, o que é impossível. Logo, o método sem troca de linhas falha aqui.

Passo 4

Gauss com pivoteamento parcial.
No pivoteamento parcial, escolhemos na coluna 1, entre as linhas 1 a 3, o elemento de maior valor absoluto. Temos
, , .
O maior é , então trocamos a linha 1 com a linha 3. A matriz fica:

Passo 5

Escalonamento completo após a troca.
  1. Eliminação na coluna 1:
    • Multiplicador para zerar :
    • Nova linha 2:
    • A linha 3 já tem , permanece .
  2. Eliminação na coluna 2:
    • Pivô agora . Multiplicador para zerar :
    • Nova linha 3:
Após essas operações, a matriz escalonada é

Passo 6

Substituição regressiva.
Da terceira linha vem
z = 0
Da segunda linha,
tfrac12,y + 0cdot z = 2 Longrightarrow y = 4
Da primeira linha,
-2x + 9y + 2z = 2 Longrightarrow -2x + 9cdot4 + 2cdot0 = 2 Longrightarrow -2x + 36 = 2 Longrightarrow x = 17

Resposta

(x,y,z) = (17,,4,,0)

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