Resolva os seguintes sistemas, algébrica e graficamente, e classifique cada um deles em seu caderno.
(a) \left\{\begin{array}{l}x+2 y=1 \\\\ 3 x-2 y=11\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com duas equações e pede que eu o resolva de duas maneiras (algébrica e graficamente) e que o classifique. As informações fornecidas são:
\begin{cases} x + 2y = 1,\\[4pt] 3x - 2y = 11. \end{cases}
O que é pedido:
  1. Encontrar a solução do sistema por método algébrico.
  2. Encontrar a solução do sistema por representação gráfica (ou seja, desenhar as duas retas e identificar o ponto de interseção).
  3. Classificar o sistema (por exemplo, se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).]

Passo 2

Escolhi o método da eliminação (adição/subtração) para a solução algébrica porque os coeficientes de y nas duas equações são +2 e -2, ou seja, somando as equações o termo y se elimina facilmente. Explico o método: se somarmos as duas equações, obtemos uma nova equação sem y; aí resolvemos para x e voltamos a substituir para achar y.
Somando as duas equações dadas:
(x+2y) + (3x-2y) = 1 + 11.
No lado esquerdo os +2y e -2y se cancelam, ficando
4x = 12.
Logo,
x = \frac{12}{4} = 3.

Passo 3

Com o valor de x encontrado, volto a uma das equações originais para achar y. Uso a primeira equação x+2y=1. Substituo \,x=3:
3 + 2y = 1.
Isolando y:
2y = 1 - 3 = -2,
y = \frac{-2}{2} = -1.
Portanto, a solução algébrica é o par ordenado (x,y)=(3,-1).

Passo 4

Vou explicar como fazer a solução gráfica passo a passo, de forma que você consiga desenhar no caderno sem calculadora. A ideia é escrever cada equação na forma \,y=mx+b (forma reduzida), onde m é a inclinação (coeficiente angular) e b é o coeficiente linear (intercepto em y). Assim fica fácil traçar cada reta a partir de dois pontos.
Transformo a primeira equação x+2y=1 em y=mx+b:
2y = 1 - x \quad\Rightarrow\quad y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2}.
Aqui m_1 = -\tfrac{1}{2} e b_1 = \tfrac{1}{2}.
Transformo a segunda equação 3x-2y=11:
-2y = 11 - 3x \quad\Rightarrow\quad 2y = 3x - 11 \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{3}{2}x - \tfrac{11}{2}.
Aqui m_2 = \tfrac{3}{2} e b_2 = -\tfrac{11}{2}.

Passo 5

Para desenhar no caderno, escolha uma escala razoável nos eixos e trace as retas usando dois pontos para cada uma (dois pontos determinam uma reta). Vou indicar pontos fáceis de calcular:
Para a reta 1 ( y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2}):
  • Quando x=0, y = \tfrac{1}{2}. Ponto (0,\tfrac{1}{2}).
  • Quando x=1, y = -\tfrac{1}{2}\cdot1 + \tfrac{1}{2} = 0. Ponto (1,0).
Para a reta 2 ( y = \tfrac{3}{2}x - \tfrac{11}{2}):
  • Quando x=0, y = -\tfrac{11}{2} = -5{,}5. Ponto (0,-\tfrac{11}{2}).
  • Quando x=3, y = \tfrac{3}{2}\cdot3 - \tfrac{11}{2} = \tfrac{9}{2} - \tfrac{11}{2} = -\tfrac{2}{2} = -1. Ponto (3,-1).
Agora no caderno:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque e plote os pontos (0,\tfrac{1}{2}) e (1,0) e trace a reta que passa por eles (reta 1).
  • Marque e plote os pontos (0,-\tfrac{11}{2}) e (3,-1) e trace a reta que passa por eles (reta 2).
  • Veja que as duas retas se cruzam no ponto (3,-1). Esse é o ponto de interseção e, portanto, a solução gráfica do sistema.
Observação importante: o ponto (3,-1) apareceu naturalmente ao escolher x=3 na segunda reta; esse é justamente o mesmo par que obtivemos algébrica e independentemente confirma a solução.

Passo 6

Classificação do sistema: Como as duas retas têm inclinações diferentes ( m_1 = -\tfrac{1}{2} e m_2 = \tfrac{3}{2}), elas se cruzam em exatamente um ponto. Isso significa que o sistema tem uma única solução — chamamos isso de sistema compatível determinado (ou simplesmente: determinado). Em palavras amigáveis: há exatamente uma solução comum às duas equações.

Resposta

Solução: (3,-1)
Classificação: sistema compatível determinado.

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