Resolva os seguintes sistemas:
c3 x1-x2+2 x3-x4=0 3 x1+x2+3 x3+x4=0 x1-x2-x3-5 x4=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo
3x1-x2+2x3-x4=0, 3x1+x2+3x3+x4=0, x1-x2-x3-5x4=0
O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss, identificando variáveis livres e básicas e descrevendo o espaço solução.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e aplicar eliminação:
l[, cccc|c 3 & -1 & 2 & -1 & 0 3 & 1 & 3 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & -5 & 0 ,r]
Subtraindo a linha 1 da linha 2 e dividindo a linha 3 por 1, obtemos
l[, cccc|c 3 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 2 & 1 & 2 & 0 1 & -1 & -1 & -5 & 0 ,r]
Em seguida eliminamos abaixo do pivô da coluna 1: linha 3 \leftarrow linha 3 - \left(\frac{1}{3}\right) \cdot linha 1,
l[, cccc|c 3 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 2 & 1 & 2 & 0 0 & -tfrac23 & -tfrac73 & -tfrac143 & 0 ,r]

Passo 3

Agora pivô na coluna 2 da linha 2 é 2. Eliminamos na linha 3: linha 3 \leftarrow linha 3 + \left(\frac{1}{3}\right) \cdot linha 2,
l[, cccc|c 3 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 2 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & -2 & -tfrac83 & 0 ,r]
Temos então o sistema triangular:
3x1-x2+2x3-x4=0, 2x2+x3+2x4=0, -2x3-tfrac83x4=0

Passo 4

Da terceira equação,
-2x3-tfrac83x4=0 Longrightarrow x3=-tfrac43x4
Definimos x4=t livre, então x3=-tfrac43t.
Da segunda equação,
2x2+(-tfrac43t)+2t=0 Longrightarrow 2x2+tfrac23t=0 Longrightarrow x2=-tfrac13t
Da primeira equação,
3x1-(-tfrac13t)+2l(-tfrac43tr)-t=0 Longrightarrow 3x1+tfrac13t-tfrac83t-t=0 Longrightarrow 3x1-tfrac83t=0
Longrightarrow x1=tfrac89t

Passo 5

Reescrevendo em termos do parâmetro t,
l(x1,x2,x3,x4r) = tl(tfrac89,-tfrac13,-tfrac43,1r)
Para eliminar frações, seja t=9lambda. Assim a solução geral fica
(x1,x2,x3,x4) = lambda,(-5,-1,6,-2), lambdainR

Resposta

A solução geral é
(x1,x2,x3,x4) = lambda,(-5,-1,6,-2), lambdainR

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