Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição:
l x^prime prime=-2 x+2 y y^prime prime=2 x-5 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes
x'' = -2,x + 2,y, y'' = 2,x - 5,y,
usando o método dos operadores lineares e, quando possível, também por eliminação (substituição). Vamos usar a teoria de operadores D = ddt e eliminar uma das variáveis para obter uma única equação em x ou y.

Passo 2

Escrevemos cada equação em forma de operador:
da primeira vem
(D^2 + 2),x ;-; 2,y = 0,
e da segunda
-2,x ;+;(D^2 + 5),y = 0

Passo 3

Isolamos y na primeira equação por substituição:
y ;=;12,l(D^2 + 2r),x

Passo 4

Calculamos y'' aplicando D^2 em y:
y'' = tfrac12,l(D^2 + 2r)l(D^2 xr) = tfrac12,l(D^4 x + 2,D^2 xr)
Substituímos y e y'' na segunda equação -2,x+(D^2+5),y=0:
-2,x ;+;(D^2+5)l[tfrac12(D^2+2)xr]=0
Multiplicando por 2 e expandindo:
-4,x + D^2(D^2+2)x +5(D^2+2)x = 0 ;Longrightarrow; D^4 x +2,D^2 x +5,D^2 x +10,x -4,x = 0,
ou seja
D^4 x +7,D^2 x +6,x = 0

Passo 5

A equação característica é
r^4 +7,r^2 +6 = 0
Fazendo m = r^2 obtemos
m^2 +7,m +6 = (m+6)(m+1)=0 ;Longrightarrow; m=-6,;-1,
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r = pm iraiz6, r=pm i
A solução geral para x(t) é
x(t) = Acos t + Bsin t + Ccos(raiz6,t) + Dsin(raiz6,t)

Passo 6

Para obter y(t) usamos
y = tfrac12(x'' +2,x)
Calculando x'':
x'' = -Acos t -Bsin t -6,Ccos(raiz6t) -6,Dsin(raiz6t),
então
x''+2,x = ( -A+2A)cos t +(-B+2B)sin t +(-6C+2C)cos(raiz6t)+(-6D+2D)sin(raiz6t),
x''+2,x = Acos t +Bsin t -4,Ccos(raiz6t) -4,Dsin(raiz6t),
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y(t) = tfrac12l(Acos t +Bsin t -4Ccos(raiz6t)-4Dsin(raiz6t)r),
y(t) = tfracA2cos t +tfracB2sin t -2,Ccos(raiz6t) -2,Dsin(raiz6t)

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = Acos t + Bsin t + Ccos(raiz6,t) + Dsin(raiz6,t),
y(t) = tfracA2cos t + tfracB2sin t -2,Ccos(raiz6,t) -2,Dsin(raiz6,t),
onde A,B,C,D são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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