Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos operadores lineares e, quando possível, também por eliminação (substituição). Vamos usar a teoria de operadores
e eliminar uma das variáveis para obter uma única equação em
ou
.
Passo 2
Escrevemos cada equação em forma de operador:
da primeira vem
da primeira vem
e da segunda
Passo 3
Isolamos
na primeira equação por substituição:
Passo 4
Calculamos
aplicando
em
:
Substituímos
e
na segunda equação
:
Multiplicando por 2 e expandindo:
ou seja
Passo 5
A equação característica é
Fazendo
obtemos
logo
A solução geral para
é
Passo 6
Para obter
usamos
Calculando
:
então
logo
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.