Resolva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou. A gente está lidando com equações diferenciais de primeira ordem envolvendo duas funções, $ y(t) $ e $ z(t) $. Pra resolver, vamos precisar usar métodos de sistemas lineares de equações diferenciais, que geralmente envolvem álgebra linear e cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Aqui, $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dz}{dt} $ representam as derivadas de $ y $ e $ z $ em relação ao tempo $ t $.
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos assumir que $ x $ é uma constante. Se $ x $ for uma função de $ t $, precisaríamos de informações adicionais. Com essa suposição, podemos reescrever o sistema como:
Passo 4
Agora, vamos representar o sistema na forma matricial. Isso facilita a aplicação de métodos de álgebra linear:
$$
+
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
E o vetor constante é:
Passo 5
Para resolver o sistema homogêneo associado (sem o vetor constante), precisamos encontrar os valores próprios da matriz $ A $. Os valores próprios ajudam a entender o comportamento das soluções do sistema.
Calculamos o determinante da matriz $ A - \lambda I $:
Resolvendo a equação característica $ \lambda^2 - 2\lambda - 14 = 0 $, encontramos os valores próprios:
Passo 6
Com os valores próprios, podemos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada $ \lambda $. Esses vetores ajudam a construir as soluções gerais do sistema.
Para $ \lambda = 1 + \sqrt{15} $:
Resolvendo, encontramos $ \mathbf{v}_1 $.
Similarmente, para $ \lambda = 1 - \sqrt{15} $, encontramos $ \mathbf{v}_2 $.
Passo 7
A solução geral do sistema homogêneo é uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 8
Agora, precisamos considerar a solução particular devido ao termo constante $ \mathbf{b} =
$. Vamos supor uma solução particular da forma $ \mathbf{y}_p =
$.
Substituindo na equação original:
Resolvendo isso, obtemos $ Y_p $ e $ Z_p $.
Passo 9
Finalmente, a solução geral completa do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais, $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $ são os vetores próprios, e $ Y_p $, $ Z_p $ são os componentes da solução particular.