Resolva ld yd t=x+5 y-z d zd t= y-3 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou. A gente está lidando com equações diferenciais de primeira ordem envolvendo duas funções, $ y(t) $ e $ z(t) $. Pra resolver, vamos precisar usar métodos de sistemas lineares de equações diferenciais, que geralmente envolvem álgebra linear e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
dydt = x + 5y - z dzdt = y - 3z
Aqui, $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dz}{dt} $ representam as derivadas de $ y $ e $ z $ em relação ao tempo $ t $.

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos assumir que $ x $ é uma constante. Se $ x $ for uma função de $ t $, precisaríamos de informações adicionais. Com essa suposição, podemos reescrever o sistema como:
x

Passo 4

Agora, vamos representar o sistema na forma matricial. Isso facilita a aplicação de métodos de álgebra linear:

$$
dydt dzdt = 5 & -1 1 & -3 y z + x 0

A = 5 & -1 1 & -3
b = x 0
+
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
E o vetor constante é:

Passo 5

Para resolver o sistema homogêneo associado (sem o vetor constante), precisamos encontrar os valores próprios da matriz $ A $. Os valores próprios ajudam a entender o comportamento das soluções do sistema.
Calculamos o determinante da matriz $ A - \lambda I $:
A
Resolvendo a equação característica $ \lambda^2 - 2\lambda - 14 = 0 $, encontramos os valores próprios:
A - lambda I

Passo 6

Com os valores próprios, podemos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada $ \lambda $. Esses vetores ajudam a construir as soluções gerais do sistema.
Para $ \lambda = 1 + \sqrt{15} $:
lambda
Resolvendo, encontramos $ \mathbf{v}_1 $.
Similarmente, para $ \lambda = 1 - \sqrt{15} $, encontramos $ \mathbf{v}_2 $.

Passo 7

A solução geral do sistema homogêneo é uma combinação linear das soluções encontradas:
y(t) z(t) = C1 e^(1 + raiz15)t v1 + C2 e^(1 - raiz15)t v2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 8

Agora, precisamos considerar a solução particular devido ao termo constante $ \mathbf{b} = b = x 0 $. Vamos supor uma solução particular da forma $ \mathbf{y}_p = yp = Yp Zp $.
Substituindo na equação original:
A yp + b = 0 implies (A)yp = -b
Resolvendo isso, obtemos $ Y_p $ e $ Z_p $.

Passo 9

Finalmente, a solução geral completa do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) z(t) = C1 e^(1 + raiz15)t v1 + C2 e^(1 - raiz15)t v2 + Yp Zp

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
y(t) = C1 e^(1 + raiz15)t v1y + C2 e^(1 - raiz15)t v2y + Yp z(t) = C1 e^(1 + raiz15)t v1z + C2 e^(1 - raiz15)t v2z + Zp
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais, $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $ são os vetores próprios, e $ Y_p $, $ Z_p $ são os componentes da solução particular.

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