Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita . Esse tipo de problema está relacionado a séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão comum entre eles. Para resolver, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Podemos reescrever isso como . Isso já nos mostra que a série é geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por .
Passo 3
Agora, vamos identificar o primeiro termo () e a razão () da série geométrica. O primeiro termo ocorre quando :
A razão é o fator pelo qual multiplicamos para passar de um termo para o próximo:
Passo 4
Sabendo que e , podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Essa fórmula funciona quando o valor absoluto da razão é menor que 1, o que é o caso aqui ().
Passo 5
Vamos aplicar os valores na fórmula:
S = 31 - 14 = 334 = 3 cdot 43 = 4
Resposta
A soma da série infinita sumn=1^infty 34^n-1 é igual a 4.