sumn=1^infty 34^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita sumn=1^infty 34^n-1. Esse tipo de problema está relacionado a séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão comum entre eles. Para resolver, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 34^n-1. Podemos reescrever isso como 3 cdot (14)^n-1. Isso já nos mostra que a série é geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por 14.

Passo 3

Agora, vamos identificar o primeiro termo ( a) e a razão ( r) da série geométrica. O primeiro termo ocorre quando n = 1:
a = 3 cdot (14)^1-1 = 3 cdot (14)^0 = 3 cdot 1 = 3
A razão r é o fator pelo qual multiplicamos para passar de um termo para o próximo:
r = 14

Passo 4

Sabendo que a = 3 e r = 14, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Essa fórmula funciona quando o valor absoluto da razão r é menor que 1, o que é o caso aqui ( |14| < 1).

Passo 5

Vamos aplicar os valores na fórmula:
S = 31 - 14 = 334 = 3 cdot 43 = 4

Resposta

A soma da série infinita sumn=1^infty 34^n-1 é igual a 4.

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