Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
(a) rd xd t=2 x-y, d yd t=x
(b) ld^2 xd t^2=4 y+e^t, d^2 yd t^2=4 x+e^t
© rd xd t=-5 x-y, d yd t=4 x-y, x(1)=0, y(1)=1
(d) rd xd t=y-1, d yd t=-3 x+2 y, x(0)=0, y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações diferenciais que a gente tem aqui:
dxdt = 2x - y, dydt = x
Nesse exercício, estamos lidando com sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, olhamos para a segunda equação:
dydt = x
Ela nos diz que a derivada de $ y $ em relação a $ t $ é igual a $ x $. Isso significa que podemos expressar $ x $ em termos da derivada de $ y $:
y

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de $ x $ na primeira equação do sistema:
x
Substituindo $ x = \frac{dy}{dt} $:
dxdt = 2x - y
Isso simplifica para:
x = dydt

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
y
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
d^2 ydt^2 - 2dydt + y = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 2r + 1 = 0
Temos uma raiz real dupla $ r = 1 $.

Passo 5

Com uma raiz dupla, a solução geral para $ y(t) $ é:
y(t)
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, voltamos para encontrar $ x(t) $. Lembramos que:
x(t)
Vamos derivar $ y(t) $:
x = dydt
y(t)
Então,
y(t) = (C1 + C2 t)e^t,

Resposta

A solução geral do sistema é:
boxed y(t) = (C1 + C2 t)e^t, x(t) = (C1 + C2 (t + 1))e^t,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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