Beleza, vamos resolver o sistema de equações diferenciais que a gente tem aqui:
dxdt = 2x - y, dydt = x
Nesse exercício, estamos lidando com sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, olhamos para a segunda equação:
dydt = x
Ela nos diz que a derivada de $ y $ em relação a $ t $ é igual a $ x $. Isso significa que podemos expressar $ x $ em termos da derivada de $ y $:
y
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão de $ x $ na primeira equação do sistema:
x
Substituindo $ x = \frac{dy}{dt} $:
dxdt = 2x - y
Isso simplifica para:
x = dydt
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
y
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
d^2 ydt^2 - 2dydt + y = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 2r + 1 = 0
Temos uma raiz real dupla $ r = 1 $.
Passo 5
Com uma raiz dupla, a solução geral para $ y(t) $ é:
y(t)
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).
Passo 6
Agora, voltamos para encontrar $ x(t) $. Lembramos que: