Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI(a) ry^prime+4 y=e^-4 t, y(0)=2
(b) ry^prime prime-4 y^prime+4 y=t^3 y(0)=1, y^prime(0)=0
© ry^prime+2 y+integral0^t y(tau) d tau=t y(0)=1,
(d) ry^prime prime-2 y^prime+y=1+e^-t y(0)=1, y^prime(0)=0
(e) ry^prime prime-ty=0, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Nesse exercício temos cinco PVI lineares para resolver usando transformada de Laplace. O conteúdo principal envolve as propriedades de transformada de derivada Ly'=sY(s)-y(0), segunda derivada Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), transformada de integral Lintegral0^t y(tau)dtau=Y(s)/s e a propriedade de multiplicação por t, Lt,y(t)=-dY/ds. Também vamos usar tabelas de transformadas inversas e frações parciais.

Passo 2

Para (a) y'+4y=e^-4t,;y(0)=2: aplicando Laplace, temos
Ly'+4Ly=1s+4,
o que dá
(sY(s)-2)+4Y(s)=1s+4Longrightarrow Y(s)=1/(s+4)+2s+4=1(s+4)^2+2s+4
Invertendo, usamos L^-1[1/(s+4)^2]=t e^-4t e L^-1[2/(s+4)]=2e^-4t. Logo
y(t)=(t+2)e^-4t

Passo 3

Para (b) y''-4y'+4y=t^3,;y(0)=1,;y'(0)=0: aplicando Laplace,
(s^2Y-s)-4(sY-1)+4Y=6s^4
Agrupando, (s-2)^2Y=s-4+6/s^4, então
Y(s)=s-4(s-2)^2+6s^4(s-2)^2
Em vez de frações parciais complexas, resolvemos a EDO por coeficientes indeterminados: a homogênea tem yh=(C1+C2t)e^2t e um particular polinomial yp=At^3+Bt^2+Ct+D. Substituindo, achamos
A=1/4,,B=3/4,,C=9/8,,D=3/4. Aplicando condições iniciais, obtemos
y(t)=l(tfrac14-tfrac138tr)e^2t+tfrac14t^3+tfrac34t^2+tfrac98t+tfrac34

Passo 4

Para © y'+2y+integral0^ty(tau)dtau=t,;y(0)=1: Laplace dá
sY-1+2Y+Ys=1s^2Longrightarrow Y(s)=1+1/s^2s+2+1/s= racs^2+1s(s+1)^2
Fazendo frações parciais
Y(s)=1s-2(s+1)^2,
inversão leva a y(t)=1-2t e^-t

Passo 5

Para (d) y''-2y'+y=1+e^-t,;y(0)=1,;y'(0)=0: Laplace gera
(s^2Y-s)-2(sY-1)+Y=1s+1s+1,
o que vira
(s-1)^2Y=s-2+1s+1s+1,
portanto
Y(s)=s-2(s-1)^2+1s(s-1)^2+1(s+1)(s-1)^2
Cada termo é invertido por frações parciais; somando os resultados dá
y(t)=1-tfrac14e^t+tfrac12te^t+tfrac14e^-t

Passo 6

Para (e) y''-ty=0,;y(0)=0,;y'(0)=1: aplicando Laplace e a propriedade Lt y=-dY/ds, chega-se a
s^2Y-1+dYds=0Longrightarrow dYds+s^2Y=1
Resolvendo essa EDO em s com fator integrante e^s^3/3, encontra-se
Y(s)=e^-s^3/3l(integral e^s^3/3ds+Cr)
A inversão leva a uma combinação das funções de Airy Ai(t) e Bi(t). Impondo as condições iniciais, obtemos
y(t)=piGammal(tfrac13r)^-1l(3^1/6Ai(t)+3^-1/3Bi(t)r)

Resposta

(a) y(t)=(t+2)e^{-4t}
(b) y(t)=\bigl(\tfrac14-\tfrac{13}{8}t\bigr)e{2t}+\tfrac14t3+\tfrac34t^2+\tfrac98t+\tfrac34
© y(t)=1-2t e^{-t}
(d) y(t)=1-\tfrac14e{t}+\tfrac12te{t}+\tfrac14e^{-t}
(e) y(t)=\displaystyle\frac{\pi}{\Gamma(\tfrac13)}\bigl(3{1/6}\mathrm{Ai}(t)+3{-1/3}\mathrm{Bi}(t)\bigr)

Exercícios relacionados