Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI(a)
(b)
©
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Nesse exercício temos cinco PVI lineares para resolver usando transformada de Laplace. O conteúdo principal envolve as propriedades de transformada de derivada
, segunda derivada
, transformada de integral
e a propriedade de multiplicação por
,
. Também vamos usar tabelas de transformadas inversas e frações parciais.
Passo 2
Para (a)
: aplicando Laplace, temos
o que dá
Invertendo, usamos
e
. Logo
Passo 3
Para (b)
: aplicando Laplace,
Agrupando,
, então
Em vez de frações parciais complexas, resolvemos a EDO por coeficientes indeterminados: a homogênea tem
e um particular polinomial
. Substituindo, achamos
. Aplicando condições iniciais, obtemos
Passo 4
Para ©
: Laplace dá
Fazendo frações parciais
inversão leva a
Passo 5
Para (d)
: Laplace gera
o que vira
portanto
Cada termo é invertido por frações parciais; somando os resultados dá
Passo 6
Para (e)
: aplicando Laplace e a propriedade
, chega-se a
Resolvendo essa EDO em
com fator integrante
, encontra-se
A inversão leva a uma combinação das funções de Airy
e
. Impondo as condições iniciais, obtemos
Resposta
(a) y(t)=(t+2)e^{-4t}
(b) y(t)=\bigl(\tfrac14-\tfrac{13}{8}t\bigr)e{2t}+\tfrac14t3+\tfrac34t^2+\tfrac98t+\tfrac34
© y(t)=1-2t e^{-t}
(d) y(t)=1-\tfrac14e{t}+\tfrac12te{t}+\tfrac14e^{-t}
(e) y(t)=\displaystyle\frac{\pi}{\Gamma(\tfrac13)}\bigl(3{1/6}\mathrm{Ai}(t)+3{-1/3}\mathrm{Bi}(t)\bigr)
(b) y(t)=\bigl(\tfrac14-\tfrac{13}{8}t\bigr)e{2t}+\tfrac14t3+\tfrac34t^2+\tfrac98t+\tfrac34
© y(t)=1-2t e^{-t}
(d) y(t)=1-\tfrac14e{t}+\tfrac12te{t}+\tfrac14e^{-t}
(e) y(t)=\displaystyle\frac{\pi}{\Gamma(\tfrac13)}\bigl(3{1/6}\mathrm{Ai}(t)+3{-1/3}\mathrm{Bi}(t)\bigr)