Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de EDOs de ordem 1
Este é um sistema linear com coeficientes constantes. Vamos usar representação matricial, encontrar autovalores e autovetores, e então montar a solução geral.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma
, com
Para resolver, é preciso achar os autovalores de
pela equação característica.
Passo 3
Calculamos o determinante
Expandindo,
Logo, os autovalores são
Passo 4
Para cada autovalor
resolvemos
para achar o autovetor correspondente.
Para
:
Da primeira linha vem
, ou seja
. Tomando
, obtemos
Para
:
Da primeira linha
, logo
. Tomando
, vem
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Dessa forma:
Passo 6
Pronto! É essa a forma geral da solução do sistema. Ajustando
e
pelos valores iniciais, teríamos a solução particular se houvesse condições iniciais.