Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:
x^prime=x+y
y^prime=2 x-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de EDOs de ordem 1
x' = x + y,
y' = 2x - y
Este é um sistema linear com coeficientes constantes. Vamos usar representação matricial, encontrar autovalores e autovetores, e então montar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma X'=AX, com
X = xy, A = 1 & 12 & -1
Para resolver, é preciso achar os autovalores de A pela equação característica.

Passo 3

Calculamos o determinante
det(A - lambda I) = det1-lambda & 12 & -1-lambda = (1-lambda)(-1-lambda)-2cdot1
Expandindo,
(1-lambda)(-1-lambda) - 2 = -(1-lambda^2) - 2 = lambda^2 - 3 = 0
Logo, os autovalores são
lambda1 = raiz3, lambda2 = -raiz3

Passo 4

Para cada autovalor lambda resolvemos (A-lambda I)v=0 para achar o autovetor correspondente.
Para lambda1 = raiz3:
(A - raiz3I)v = 1-raiz3 & 12 & -1-raiz3v1v2=0
Da primeira linha vem (1-raiz3)v1 + v2 = 0, ou seja v2 = (raiz3-1)v1. Tomando v1=1, obtemos
v^(1) = 1 raiz3-1
Para lambda2 = -raiz3:
(A + raiz3I)v = 1+raiz3 & 12 & -1+raiz3v=0
Da primeira linha (1+raiz3)v1 + v2 = 0, logo v2 = -(1+raiz3)v1. Tomando v1=1, vem
v^(2) = 1-(1+raiz3)

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
X(t) = C1 e^raiz3tv^(1) + C2 e^-raiz3tv^(2),
onde C1 e C2 são constantes reais arbitrárias. Dessa forma:
x(t)y(t) = C1 e^raiz3t1raiz3-1 + C2 e^-raiz3t1-(1+raiz3)

Passo 6

Pronto! É essa a forma geral da solução do sistema. Ajustando C1 e C2 pelos valores iniciais, teríamos a solução particular se houvesse condições iniciais.

Resposta


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